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Verständnisfrage zu L'Hospital Regel

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert, l'Hôspital, sin

 
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Berntensen

Berntensen

16:18 Uhr, 22.01.2017

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Hallo,

ich habe ein Problem bei der Anwendung von L'Hospital bei folgendem Ausruck:

limn0(2sin²(x)-12*sin²(0.5*x))

Ich weiß als Grenzwert soll 0,5 rauskommen, nur wie ich da hinkomme ist mir nicht klar, denn wenn ich 0 einsetze erhalte ich im Nenner 0, aber nicht im Zähler. Ich könnte natürlich einfach mit den Ableitungen anfangen, aber ich würde gern wissen, wo mein Denkfehler am Anfang liegt.

Vielleicht kann mir ja jemand helfen? Vielen Dank schon mal!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Grenzwert (Mathematischer Grundbegriff)
Regel von l'Hospital (Mathematischer Grundbegriff)
Wichtige Grenzwerte

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Roman-22

Roman-22

16:44 Uhr, 22.01.2017

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Du hast hier einen unbestimmten Ausdruck der Form - vorliegen. Da die Regel von de l'Hôspital aber nur bei oder 00 anwendbar ist, musst du den Ausdruck auf eine dieser beiden Formen bringen.
Das ist hier sehr einfach, wenn du die beiden Brüche zu einem zusammenfasst.
Antwort
mihisu

mihisu aktiv_icon

16:46 Uhr, 22.01.2017

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1. Du hast limn0 stehen, in dem Ausdruck dahinter kommt aber kein n vor. Daher ist:

limn0(2sin2(x)-12sin2(0,5x))=2sin2(x)-12sin2(0,5x)

Wahrscheinlich hast du dich aber einfach verschrieben und es soll

limx0(2sin2(x)-12sin2(0,5x))

berechnet werden, oder?

2. Wie du richtig erkannt hast, geht der Zähler jeweils nicht gegen 0. Daher kannst du die Regel von L'Hospital nicht direkt anwenden. Stattdessen ist es hilfreich bei solchen Differenzen, wo im Grunde - ist, den Subtrahend und den Minuend zu einem Ausdruck zusammenzufassen bzw. ein wenig umzuformen.

limx0(2sin2(x)-12sin2(0,5x))=limx04sin2(0,5x)-sin2(x)2sin2(0,5x)sin2(x)

Nun laufen sowohl Zähler, als auch Nenner, gegen 0 und L'Hospital ist anwendbar.

\\\\

Edit: Statt da jetzt jedoch mit L'Hopital zu arbeiten (Wenn du da jetzt stur L'Hospital draufwirst, darfst du das 4-mal machen, bis du beim Ergebnis 12 bist.) würde ich
4sin2(0,5x)-sin2(x)2sin2(0,5x)sin2(x)=...=11+cos(x)
vereinfachen.
Frage beantwortet
Berntensen

Berntensen

13:45 Uhr, 23.01.2017

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Vielen Dank für Eure Hilfe!

zu 1. Ja das war ein Tippfehler, das n sollte ein x sein.

und zu 2. L'Hospital wurde in der Tat sehr aufwendig, aber die Aufgabenstellung verlangt es explizit, von daher denke ich mal soll man das dann auch so durchziehen.