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Verständnisfragen zur Binomialverteilung

Schüler Gymnasium,

Tags: Binomialverteilung, Sigmaregeln, Stochastik

anonymous

18:46 Uhr, 30.08.2016

Einen schönen guten Abend an alle,

ich hätte drei Verständnisfragen und würde mich über eine Rückantwort freuen. :-)

1.) ,,Der Graph einer Binomialverteilung hat Glockenform. Die Wendestellen des Graphen befinden
sich bei

μ - σ

und

μ + σ

."

Wie beweist man so etwas?

2.) ,,Das

σ

-Intervall ist

[μ - σ; μ + σ]

P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 68, 3 %

"

Und dann gibt es noch zwei weitere

σ

-Regeln. Was mich interessiert: Wie kommt man auf die
angegebenen bzw. ungefähren Wahrscheinlichkeiten?

3.) ,,Als Faustregel gilt, dass die Näherung der Sigma-Regeln geeignet ist, wenn

σ > 3

."

Wie kommt man hier auf die

3

? Ich habe mir einen Binomialgraphen mit

σ = 2

angeguckt und
mir ist aufgefallen, dass je kleiner

σ

ist, die Binomialgraphen immer schlechter mit Hilfe
der Sigma-Regeln beschreibbar sind.

Vielen Dank für eure Hilfe.

NeymarJunior

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Bernoulli-Experimente

Roman-22

19:57 Uhr, 30.08.2016

Kann es sein, dass du die diskrete Binomialverteilung mit der stetigen Normalverteilung verwechselst?

Deine letzte Frage zielt wohl darauf ab, dass es manchmal zweckmäßig sein kann, eine Aufgabe, der im Grunde eine Binomialverteilung zugrunde liegt, näherungsweise zu lösen indem man eine Normalverteilung der Zufallsgröße annimmt.
Die Bedingung, auf die du vermutlich anspielst, ist die sogenannte Laplace-Bedingung. Das ist nur eine Faustregel. Meist ist die Näherung hinreichend gut, wenn diese Bedingung erfüllt ist. Das ist aber keine Garantie dafür und umgekehrt kann es sich auch einmal um eine hervorragende Näherung handeln obwohl diese Bedingung nicht erfüllt ist.

R

anonymous

09:37 Uhr, 31.08.2016

Hallo Roman-22,

meine dritte Frage hat sich geklärt, danke.
Könntest du bitte noch 1.) und 2.) beantworten? :-)

NeymarJunior

Roman-22

10:41 Uhr, 31.08.2016

>

Könntest du bitte noch

1 .)

und

2 .)

beantworten? :-)
Das habe ich indirekt bereits getan, jedoch hast du meine diesbezüglichen Hinweise leider ignoriert.

1)

Die Wahrscheinlichkeitsfunktion (=kumulierte Verteilungsfunktion) der Binomialverteilung ist keine stetige Funktion, weswegen sie keine Wendepunkt udgl besitzen kann.

2)

Die Kenngrößen einer Binomialverteilung sind eine positive ganze Zahl

n

und eine Wahrscheinlichkeit

p

.
Wie schon geschrieben verwechselst du da etwas.

R

anonymous

11:47 Uhr, 31.08.2016

Hallo Roman-22,

>

Kann es sein, dass du die diskrete Binomialverteilung mit der stetigen Normalverteilung verwechselst?

Im Unterricht haben wir noch nicht die Normalverteilung besprochen, deswegen
habe ich einen kurzen Exkurs gemacht und mir im Buch etwas darüber durchgelesen.

Allerdings befürchte ich, dass die Autoren des Arbeitsblattes, das ich von meinem Lehrer
habe, etwas verwechseln.

Im Anhang sende ich dir drei Screenshots.

ad erstes Bild: Im unteren Kasten ist meine erste Frage zu finden.

ad zweites Bild: Im oberen Kasten ist meine zweite Frage zu finden (das mit den Prozentzahlen).

Auf jeden Fall stimme ich dir zu, dass der Graph einer Binomialverteilung
keine Wendepunkte haben kann (wie denn auch?). Deshalb habe ich mal mit Geogebra
den Graphen einer B.verteilung (mit

n = 50

und

p = 0, 75

) zu einer Normalverteilung angenähert
(siehe letztes Bild).
Und siehe da: Die Wendepunkte sind tatsächlich bei

\ m u - \ s i g m a

bzw.

\ m u + \ s i g m a

.
Aber natürlich bei der Normalverteilung, die, wie du geschrieben hast, eine stetige Funktion ist.

NeymarJunior

Roman-22

12:36 Uhr, 31.08.2016

>

Allerdings befürchte ich, dass die Autoren des Arbeitsblattes, das ich von meinem Lehrer habe, etwas verwechseln.
Das nicht, aber sie bedienen sich eine schlampigen, ungenauen Ausdrucksweise, wenn sie da von einer Wendestelle schreiben und sie haben natürlich bereits die Normalverteilung im Hinterkopf.

Der Graph, der sich bei der diskreten Binomialverteilung ergibt, ist nur eine Ansammlung von einzelnen (diskreten) Punkten, keine durchgehend zu zeichnende Kurve. Schließlich gibts zB einen Funktionswert für

X = 3

und einen für

X = 4,

aber dazwischen ist Funkstille.

X = 3,6

ist nicht möglich. Daran ändert sich auch nichts, wenn man ein Balkendiagramm zeichnet. Es ist irreführend, an der Stelle

X = 3,6

überhaupt irgend etwas einzuzeichnen, denn für diesen Wert existiert keine Wahrscheinlichkeit. Zeichnet man dann den Graphen der kumulierten Wahrscheinlichkeiten, trägt also auf der Ordinate den Wert

P (X \leq x)

auf, mag es nicht falsch sein, auch an der Stelle

x = 3,6

etwas einzutragen, denn natürlich ist

P (X \leq 3,6) = P (X \leq 3,2) = P (X \leq 3)

. Es entsteht eine Treppenkurve, aber diese kumulierte Wahrscheinlichkeit ist in deinen Screenshots nirgendwo eingezeichnet.

Aber natürlich nähert sich der diskrete Punkthaufen einer stetigen Kurve, wenn die Stichprobengröße

n

immer größer wird und in der Grenze

n \to \infty

landen wir dann eben bei der stetigen Normalverteilung.
Für große Werte von

n

(und nicht zu kleine Werte von

p)

kann daher die NV zur NÄHERUNG der Binomialverteilung herangezogen werden.

Die Normalverteilung wird durch die Dichtefunktion

f (x) := \frac{1}{\sqrt{2 π \cdot σ^{2}}} \cdot e^{- \frac{{(x - μ)}^{2}}{2 σ^{2}}}

definiert. Der Graph dieser Funktion stellt die "berüchtigte" Gaußsche Glockenkurve dar und mit dieser Funktion lassen sich dann auch deine Fragen nach dem "warum" dieser sigma-Regeln und dem Wendepunkt beantworten. Für die Binomialverteilung ist das alles nur als Näherung zu sehen. Das wird aber in deinen Screenshots ohnedies immer wieder explizit gesagt, dass es sich hier immer nur um Näherungen handelt. Solange du die NV nicht kennst, musst du das also einfach nur akzeptieren. Später kannst du dann zeigen, dass die BV gegen die NV strebt und diese Eigenschaften/Regeln mit der NV dann auch exakt beweisen.

R

anonymous

14:42 Uhr, 31.08.2016

Hallo Roman-22,

danke für deine hilfreiche Antwort!!

Ich hatte eine Idee, wie man beweisen kann, dass die Wendestellen bei

x = μ \pm σ

liegen.
Einmal kurz bei Wikipedia reinschauen und ich weiß, wie ich vorzugehen habe.

Das Problem ist, dass ich irgendwo in meiner Rechnung einen Fehler gemacht haben muss
(siehe Anhang, blau unterlegter Teil).

Und dann noch eine Frage zum rot unterlegten Bereich: Streng genommen muss es eigentlich

μ - x = \pm \frac{1}{\pm σ}

heißen, oder? Also dass im Nenner

\pm σ

steht.
Bloß wüsste ich dann nicht, wie das

\pm

,,verschwinden" könnte.

NeymarJunior

Roman-22

15:05 Uhr, 31.08.2016

Ja, wenn man von einer stetigen Funktion wie eben bei der NV ausgeht, kann man die Wendestellen durch Nullsetzen der zweiten Ableitung ermitteln.

Zweimal

\pm

ist nicht nötig. Im Grunde will man dadurch ja nur ausdrücken, dass beide Vorzeichen genommen werden können.

>

Bloß wüsste ich dann nicht, wie das ± ,,verschwinden" könnte.
naja, du kannst ja jedes der beiden Vorzeichen vorne mit jedem der beiden Vorzeichen beim

σ^{2}

kombinieren. Diese vier Kombinationen ergeben zweimal

+

und zweimal

-,

also am Bestem gleich nur einmal

\pm

vorne hin und fertig.
Aber Achtung! Es gibt auch Aufgaben/Rechnungen, wo diese Scheibweise anders gemeint ist. Dort darf man dann nur jeweils das obere Vorzeichen mit den anderen oberen Vorzeichen kombinieren usw. Da kommts auch manchmal zu Schreibweisen, bei denen vier Vorzeichen in einer bestimmten Reihenfolge untereinander stehen.

Dein Fehler ist in der dritten Zeile passiert, als du

\frac{1}{σ^{2}}

falsch in die Klammer multipliziert hast, den

\frac{1}{σ^{2}} \cdot \frac{1}{σ^{2}} \neq 1

. Lass die

\frac{1}{σ^{2}}

lieber draußen, die stören beim Nullsetzen ja nicht. Statdessen bring lieber in der Klammer auf gemeinsamen Nenner

σ^{2}

und zieh den dann auch noch nach draußen, sodass dort dann

\frac{1}{σ^{4}}

steht.

R

anonymous

16:06 Uhr, 31.08.2016

Hallo Roman-22,

VIELEN DANK für deine großartige Hilfe!! :-)
Ich habe genau das raus, was zu erwarten war.

Viele Grüße
NeymarJunior

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