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Verteilungs- und Dichtefunktion

Universität / Fachhochschule

Erwartungswert

Verteilungsfunktionen

Tags: Erwartungswert, Verteilungsfunktion

Olympos

22:27 Uhr, 20.09.2017

Hallo,
könnte mir jmd. bitte bei der folgende Aufgabe helfen?

Es wird ein Kreis von zufälligem Radius R geformt.Der Radius R sei exponentialverteilt mit parameter

λ

. Bestimme die Verteilungsfunktion und die Dichtefunktion des Flächeninhalts A des zufälligen Kreises.

Ich bin sehr Dankbar für jede Hilfe.

lieber Grüße

mihisu aktiv_icon

20:11 Uhr, 22.09.2017

Du kannst dich an diesem Beispiel orientieren:
de.wikipedia.org/wiki/Zufallsvariable#Beispiel

\\\\

Da

R

exponentialverteilt ist, hat

R

die Verteilungsfunktion

F_{R},

welche durch

F_{R} (r) = 1 - e^{- λ r}, w e n n r \geq 0,

und

F_{R} (r) = 0, w e n n r < 0,

gegeben ist.

Betrachte nun die Zufallsvariable

A = π \cdot R^{2},

welche den Flächeninhalt beschreibt.
Dass ein negativer Flächeninhalt nicht vorkommen kann sollte klar sein, oder?

F_{A} (a) = P (A \leq a) = 0, w e n n a < 0

.

Für

a \geq 0

erhält man:

F_{A} (a) = P (A \leq a) = P (π \cdot R^{2} \leq a)

= P (R^{2} \leq \frac{a}{π}) = P (| R | \leq \sqrt{\frac{a}{π}})

= P (- \sqrt{\frac{a}{π}} \leq R \leq \sqrt{\frac{a}{π}}) = F_{R} (\sqrt{\frac{a}{π}}) - F_{R} (- \sqrt{\frac{a}{π}})

= 1 - e^{- λ \cdot \sqrt{\frac{a}{π}}} - 0 = 1 - e^{- λ \cdot \sqrt{\frac{a}{π}}}

Damit hast du dann die Verteilungsfunktion von

A

.
Die Dichtefunktion erhält man dann einfach durch Ableiten der Verteilungsfunktion.

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