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Vollständige Induktion

Universität / Fachhochschule

Tags: Vollständig Induktion

Elber123 aktiv_icon

04:23 Uhr, 09.12.2011

Hallo zusammen,

wer könnte mir bitte helfen?

1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + ... + {(2 n - 1)}^{2} = \frac{n \cdot (4 n^{2} - 1)}{3}

Danke

Gruß
Elber

Chokess aktiv_icon

06:29 Uhr, 09.12.2011

Hiho!

zz:

\sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = n \cdot \frac{4 n^{2} - 1}{3}

IA:n=1

\sum_{i = 1}^{1} {(2 i - 1)}^{2} = 1 = 1 \cdot \frac{4 \cdot 1^{2} - 1}{3}

IV:

\sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = n \cdot \frac{4 n^{2} - 1}{3}

IS:

n \to n + 1

\sum_{i = 1}^{n + 1} {(2 i - 1)}^{2} = {(2 (n + 1) - 1)}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2}

Nach IV gilt:

{(2 (n + 1) - 1)}^{2} + \sum_{i = 1}^{n} {(2 i - 1)}^{2} = {(2 (n + 1) - 1)}^{2} + n \cdot \frac{4 n^{2} - 1}{3} =

...jetzt so umformen, dass...

= (n + 1) \cdot \frac{4 {(n + 1)}^{2} - 1}{3}

MfG Chris

Elber123 aktiv_icon

23:55 Uhr, 09.12.2011

wie geht es dann weiter?

Chokess aktiv_icon

00:22 Uhr, 10.12.2011

Wenn du den Rest gezeigt hast, also

{(2 (n + 1) - 1)}^{2} + n \cdot \frac{4 n^{2} - 1}{3} = (n + 1) \cdot \frac{4 {(n + 1)}^{2} - 1}{3},

dann bist du fertig.

Da die Ursprungs-Gleichung für ein bestimmtes

n

erfüllt war, in diesem Fall

n = 1,

ist sie genau für dieses

n

wahr. (Induktionsanfang)

Wenn die Gleichung für ein bestimmtes

n

erfüllt ist, so ist sie genau dann für alle

n

erfüllt, wenn sie für

n \to n + 1

erfüllt ist, denn dann ist sie für jedes weitere

n

auch erfüllt, also für alle

n \in N

. (Induktionsschritt).

MfG Chris

Elber123 aktiv_icon

00:28 Uhr, 10.12.2011

bis hier hin habe ich mitbekommen, aber danach komme ich leider nicht weiter...
Was heißt zz: ??

Chokess aktiv_icon

02:38 Uhr, 10.12.2011

zz heißt zu zeigen, bzw. genau das ist die Behauptung.

Der komplette Beweis steht eigentlich schon so gut wie da, man muss nur noch ausmultiplizieren. Wieso kommst du da nicht weiter? Es ist mir nicht ersichtlich, dass du überhaupt schon "weit" gekommen bist.

Hast du den Sinn und die Vorgehensweise einer Induktion verstanden?

Elber123 aktiv_icon

02:47 Uhr, 10.12.2011

Ja, ich bin schon weiter... aber ich habe Probleme mit dem Rest...

Chokess aktiv_icon

06:10 Uhr, 10.12.2011

Dann schreib doch mal, was du noch gemacht hast.

Elber123 aktiv_icon

09:05 Uhr, 10.12.2011

Sorry, ich habe einen Rechenfehler gehabt.
Vielen Dank für Deine Hilfe!

lg
Elber

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