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Vollständige Induktion

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Tags: Sonstig, Vollständig Induktion

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19:17 Uhr, 18.01.2017

Hallo zusammen stehen beim einsetzen der Annahme auf dem Schlauch und komme nicht weiter. Hoffe mir kann jemand weiterhelfen.

Vielen Dank.

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n}{2} \cdot (n + 1)

Induktionsanfang:

n = 1

k = 1

und

\frac{1}{2} \cdot 2 = 1

Induktions Annahme:

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n}{2} \cdot (n + 1)

Induktionsschritt:

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n + 1}{2} \cdot ((n + 1) + 1)

= \frac{n + 1}{2} \cdot (n + 2)

\sum_{k = 1}^{n} k + (n + 1)

= \frac{n}{2} \cdot (n + 1) + (n + 1)

= \frac{n}{2} \cdot 2 n + 2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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19:31 Uhr, 18.01.2017

Hallo,

also du musst beim Induktionsschritt bei der Summe anfangen und darfst dass nicht gleich der rechten Seite setzen.
Das heißt du schreibst die Summe auf, nur mit n+1 und das versuchst du dann umzuschreiben, indem du z.B. k=n+1 aus der Summe ziehst.
Dann kannst du auch deine Induktionsvoraussetzung anwenden ;-)

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19:38 Uhr, 18.01.2017

Oha da verstehe ich gerade nur Bahnhof ehrlich gesagt...

Im Induktionsschritt setzte ich

(n + 1)

ein für

n

Das habe ich doch schon gemacht. Dabei komme ich auf

k = \frac{n + 1}{2} \cdot ((n + 1) + 1)

oder

k = \frac{n + 1}{2} \cdot (n + 2)

Das sollte mein Zielterm sein...

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19:42 Uhr, 18.01.2017

Also du beginnst mit der Summe.

Im Induktionsschritt sieht der Anfang dann so aus:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k

Das musst du jetzt versuchen umzuschreiben, am besten so dass du natürlich irgendwann deine Induktionsvoraussetzung da stehen hast.

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19:52 Uhr, 18.01.2017

Das habe ich doch schon gemacht soweit. Oben in der Aufgabe hat er mir nur beim Summanden das

n + 1

weggenommen... Tippfehler:

\sum_{k = 1}^{n + 1}

Da kommt dann raus

k = \frac{(n + 1)}{2} \cdot (n + 2)

Danach habe ich dann

\sum_{k = 1}^{n + 1} k + (n + 1) = \frac{n}{2} \cdot (n + 1) + (n + 1)

Der nächste Schritt ist mir jetzt nicht mehr klar... wie geht es weiter? 2 Ausklammern oder was muss ich tun...

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20:01 Uhr, 18.01.2017

Also deine Induktionsvoraussetzung sagt, dass die Aussage

\sum_{k = 1}^{n} k = \frac{n}{2} (n + 1)

für

n \in ℕ

stimmt.

Das heißt aber nicht, dass das auch für n+1 gilt.
Um das zu zeigen, musst du wie gesagt mit der Summe anfangen und dann auf deine rechte Seite, also

\frac{n + 1}{2} ((n + 1) + 1)

, kommen. Aber nicht sofort gleichsetzen, weil wir ja nicht wissen, dass das stimmt.

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20:16 Uhr, 18.01.2017

Ich gehe doch davon aus das die Annahme

= k

ist
Annahme

+ n + 1 :

\frac{n}{2} \cdot (n + 1) + (n + 1)

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20:23 Uhr, 18.01.2017

Also man geht so vor:

wir setzen n=n+1:

\sum_{k = 1}^{n + 1} k = (n + 1) + \sum_{k = 1}^{n} k

und jetzt kannst du hier deine Induktionsvoraussetzung anwenden. Das heißt, dass du die Summe ersetzt durch

\frac{n}{2} (n + 1)

. Wenn du das ersetzt hast fasst du deinen Term so zusammen, dass am Ende da steht

\frac{n + 1}{2} ((n + 1) + 1)

.
Und dann hast du die Aussage gezeigt für n+1 gezeigt.

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20:29 Uhr, 18.01.2017

Ja das habe ich ja alles soweit

Wie fasse ich den Term denn zusammen das ich auf die Lösung komme?

Weiter als

\frac{n}{2} \cdot (n + 1) + (n + 1)

komme ich nicht oder

(n + 1) + \frac{n}{2} \cdot (n + 1)

\frac{n}{2} \cdot 2 n + 2

vielleicht noch dann hört es auf. wie komme ich jetzt zur Lösung?

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20:34 Uhr, 18.01.2017

Achso, das werde ich jetzt nicht ausprobieren. Aber es hilft, wenn du die rechte Seite (

\frac{n + 1}{2} ((n + 1) + 1)

umschreibst, also Klammern auflöst und dann auf deinen bisherigen Term stößt.

Tetal aktiv_icon

20:39 Uhr, 18.01.2017

Trotzdem schonmal vielen Dank. Ja wie löse ich die Klammern auf... Weiß nicht wie ich das machen soll. Die Schritte bräuchte ich einmal beschrieben... Vielleicht kann mir da ja wer anderes helfen.

ledum aktiv_icon

13:15 Uhr, 19.01.2017

Hallo
du hast

(n + 1) + \frac{n}{2}

⋅

(n + 1)

ausklammern von

(n + 1)

: (n + 1) + \frac{n}{2}

⋅(

n + 1) = (n + 1) \cdot (1 + \frac{n}{2}) = (n + 1) \cdot \frac{2 + n}{2}

das gewünschte Ziel

dabei hattest du ja als Ziel

\frac{(n + 1) \cdot (n + 2)}{2},

deshalb bietet sich an

n + 1

auszuklammern, denn dann muss ja der Rest

\frac{n + 2}{2}

sein wenn die Formel stimmt-
du musst bei solchen Induktionen immer das Ziel vor dir haben und in der Richtung umformen.
Gruß ledum

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