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Vollständige Induktion anwenden

Universität / Fachhochschule

Tags: diskrete strukturen, Vollständig Induktion

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18:12 Uhr, 27.10.2015

Einen schönen guten Abend Freunde der Mathematik,

ich steh mal wieder voll auf dem Schlauch weil der Prof. in der Vorlesung mal wieder auf den Vorspuhlknopf gedrückt hat, sprich alles in einem Wahnsinnstempo vorgetragen hat. Für einige von euch mag die Aufgabe ein Witz sein, für mich, da ich am Anfang des Themas stehe, nicht.

Folgende Aufgabe muss gelöst werden:

(a)

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:

(i)

Für alle

n

∈

N, n

≥ 3 gilt

n^{2}

−2n−1

> 0

.
(ii) Für jede reelle Zahl

x

≥ 0 und für jedes

n

∈

N

gilt:

x^{n}

≥

1 +

n(x−1)

Ich komme nicht wirklich voran und würde mich über eine Lösung mit Erklärung zum Nachvollziehen wirklich freuen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

DrBoogie aktiv_icon

07:46 Uhr, 28.10.2015

x^{n} \geq 1 + n (x - 1)

.

Induktionsanfang:

n = 1

.
Dann

x^{1} = x = 1 + (x - 1) = 1 + 1 \cdot (x - 1)

- erfüllt (aus

=

folgt

\geq

).

Induktionsschritt. Angenommen,

x^{n} \geq 1 + n (x - 1)

.
Dann

x^{n + 1} = x \cdot x^{n} \geq x (1 + n (x - 1))

- hier wurde die Induktionsannahme benutzt.
Weiter

x (1 + n (x - 1)) = (1 + x - 1) (1 + n (x - 1)) = 1 + n (x - 1) + (x - 1) + n (x - 1)^{2} =

= 1 + (n + 1) (x - 1) + n (x - 1)^{2} \geq 1 + (n + 1) (x - 1)

, weil

n (x - 1)^{2} \geq 0

.
Damit ist der Induktionsschritt bewiesen und mit ihm die Induktion.

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18:28 Uhr, 28.10.2015

Danke für deine Antwort DrBoogie.

Leider ist mir der Weg noch nicht ganz klar.

Z . B

. mit dem "(aus = folgt ≥)"
Irgendwie bin ich bei der ganzen Aufgabe immer noch verwirrt

: (

Vielleicht stelle ich mich aber auch einfach zu blöd an

: (

Viele Grüße

DrBoogie aktiv_icon

18:47 Uhr, 28.10.2015

Aus

=

folgt

\geq

bedeutet, dass wenn

a = b

, dann natürlich auch

a \geq b

.
Z.B.

5 \geq 5

ist genauso wahr wie

5 = 5

.

Bei der allgeimenen Verwirrung hilft es, einfache Einführungen ins Thema zu lesen, z.B.
http//www.mathematik.de/ger/fragenantworten/erstehilfe/induktion/induktion.html
oder
http//www.mathe-online.at/materialien/matroid/files/vi/vi.html
oder die Quelle Deiner Wahl.

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18:52 Uhr, 28.10.2015

okay, das werde ich dann als nächstes angehen.
Vielen Dank für deine Hilfe.
Falls ich noch Fragen dazu habe melde ich mich :-)

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14:29 Uhr, 30.10.2015

Es wäre mir sehr hilfreich wenn folgende Aufgabe erklärt werden könnte:

Zeigen Sie mit vollständiger Induktion:
-Für alle

n

∈

N, n

≥ 3 gilt n² −

2 n

−

1 > 0

Ich habe die Lösung der Aufgabe, kann es jedoch nicht nachvollziehen.
Es tauchen dort Zahlen auf, die ich einfach nicht zuordnen kann.

Bitte schreibt die Schritte dazu, was genau gemacht wurde.

Vielen Dank!

DrBoogie aktiv_icon

14:46 Uhr, 30.10.2015

Für