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Vollständige Induktion von Exponenten

Schüler Berufliches Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Exponent, Induktion nach n

Meli497 aktiv_icon

19:41 Uhr, 02.09.2015

Hallo Community,
Ich hänge gerade bei folgender Aufgabe:

3^{n + 1} - 3

Diese Funktion soll nun induziert werden. Soweit gut, jedoch ergibt der Zwischenschritt:

2 \cdot 3^{n} + 3^{n} - 3

und letztendlich dann der Beweis:

(6 \cdot 3^{n - 1}) + (3^{n} - 3)

Mein Problem ist jetzt hier wie man auf den Zwischenschritt kommt. Wenn man den Exponent herunterzieht, müsste es dann nicht so aussehen:

3^{n} \cdot 3 - 3

Wahrscheinlich lieg ich eh komplett falsch, da mein Abitur jetzt auch schon zurückliegt. Vielen Dank für jede Hilfe.
MfG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Potenzfunktionen - Einführung

-Wolfgang-

19:46 Uhr, 02.09.2015

Hallo Melina,

3^{n + 1} - 3

= 3 \cdot 3^{n} - 3

(wie du schon sagtest)

= (2 + 1) \cdot 3^{n} - 3

= 2 \cdot 3^{n} + 3^{n} - 3

VlG Wolfgang

Meli497 aktiv_icon

19:51 Uhr, 02.09.2015

Hallo, danke für die schnelle Antwort. Aber wieso wurde das jetzt "aufgesplittet"? Ich verstehe den Schritt nicht ganz. Nehmen wir jetzt an, es wäre

3^{n + 2}

gewesen, wäre es dann auch so aufgesplittet worden?

-Wolfgang-

19:59 Uhr, 02.09.2015

Wie"das aufgesplittet" werden muss, hängt von der Aussage ab, die durch vollständige Induktion bewiesen werden soll, also von der Aufgabenstellung.

Leider hast du uns darüber nicht aufgeklärt! :-)

W

Meli497 aktiv_icon

20:00 Uhr, 02.09.2015

Achso, tut mir leid, es hätte nach 6 geteilt werden sollen!

-Wolfgang-

20:14 Uhr, 02.09.2015

Die Aufgabenstellung war also:

Zeige durch vollständige Induktion, das für jede natürliche Zahl

n

gilt:

3^{n + 1} - 3

ist durch 6 teilbar ?

W

Meli497 aktiv_icon

20:34 Uhr, 02.09.2015

ja genau! Ich verstehe einfach nicht wieso man es nicht so hätte lassen können:

3 \cdot 3^{n} - 3

Denn so gesehen ist

3

in dem Fall ja auch durch 6 teilbar

-Wolfgang-

20:46 Uhr, 02.09.2015

3 ist NICHT durch 6 teilbar.

3 : 6 = 0,5

"teilbar" bedeutet aber, dass das Ergebnis eine ganze Zahl sein muss, also dass die Division "aufgeht".

W

Meli497 aktiv_icon

20:52 Uhr, 02.09.2015

das meine ich nicht, aber wenn man einen Summanden wie

z . B

das hat:

3 n^{2} + 2 n

Ist das doch auch durch 6 teilbar und kann als Beweis verwendet werden, da

3 \cdot 2 = 6,

oder nicht?
Kann sein, dass ich mich ein wenig umständlich Ausdrücke

-Wolfgang-

20:58 Uhr, 02.09.2015

3 n^{2} + 2 n

hat

z . B

. für

n = 1

den Wert

5,

also nicht durch 6 teilbar.

Eine Summe ist durch 6 teilbar, wenn jeder einzelne Summand durch 6 (also durch 2 und durch

3)

teilbar ist.

In deinem Fall müssten also sowohl

3 n^{2}

als auch

2 n

(für jede Zahl

n!)

durch 6 teilbar sein.

W

Meli497 aktiv_icon

21:05 Uhr, 02.09.2015

Vielen Dank für die Geduld, ich glaube ich versteh es langsam. Eine letzte Frage hätte ich noch :
Der obige erbrachte Beweis von den Lösungen enthält ja auch eine

3^{n - 1}

und 3 ist ja nicht durch 6 teilbar?

-Wolfgang-

21:15 Uhr, 02.09.2015

6 \cdot 3^{n - 1} + (3^{n} - 3)

hat die beiden Summanden

6 \cdot 3^{n - 1}

[

dieser ist sicher durch 6 teilbar] und

3^{n} - 3 [

sicher durch 3 teibar. Weil

3^{n}

ungerade ist, ist

3^{n} - 3

gerade (ungerade - ungerade ergibt gerade) und deshalb durch 2 teilbar.

teilbar durch 2 und

3 \to

teilbar durch 6 .

Beide Summanden durch 6 teilbar

\to

Summe durch 6 teilbar.

W

Meli497 aktiv_icon

21:19 Uhr, 02.09.2015

Okay super, Habe es verstanden, vielen Dank!

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