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Vollständige Induktion(2)

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Tags: Vollständige Induktion

Jenne aktiv_icon

22:25 Uhr, 14.10.2008

Hallo zusammen,

ich glaube, der erste Beitrag von mir (Vollständige Induktionen) ist kaputt. Er lässt sich nicht mehr aufrufen.

Ich soll 2 Aussagen durch vollständige Induktionen beweisen:

1. Es gilt

n^{2} > n + 1

für alle

n \geq 2

2. Es gilt

n^{2} \geq 2 n + 3

für alle

n \geq 3

Mein Lösungsvorschlag:

zu 1)
Behauptung:

n^{2} > n + 1

für alle

n \geq 2

Beweis:

2^{2} > 2 + 1

4 > 3

Dies dürfte für alle

n

gelten.

zu 2)
Behauptung:

n^{2} \geq 2 n + 3

für alle

n \geq 3

Beweis:

3^{2} \geq (3 * 2) + 3

9 \geq 6 + 3

9 \geq 9

Auch dies dürfte für alle

n

gelten.

Sind diese Aufgaben a) richtig gelöst und ist b) der Rechenweg korrekt dargestellt (oder gibt es eine "Etikette" zu beachten?).

Vielen Dank für eure Hilfe.

Gruß
Jenne

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MBler07 aktiv_icon

22:32 Uhr, 14.10.2008

Hi

In einer Klausur würde ich dir für diese "vollständige Lösung" 4 von

10

Punkten geben. Abzüglich einem, weil du glaubst, dass sie vollständig ist.

Wenn du etwas beweisen sollst, musst du's auch beweisen. Und kannst nicht einfach sagen: "Das passt schon" (sinngemäß)

Was du bisher gemacht hast nennet sich Induktionsanfang, also der Beweis, dass die Aussage für das erste

n

gilt. Das ganze musst du jetzt verallgemeinern (auf alle

n

beziehen), indem du

n := n + 1

setzt und die Aussage überprüfst.

Grüße

Jenne aktiv_icon

22:39 Uhr, 14.10.2008

Hi,

ok, das sehe ich ein. Ich habe bewiesen, dass die Aussage mit der kleinsten zur Verfügung gestellten Einheit funktioniert. Aber wie beweise ich dass es mit allen

n

funktioniert?

Ich könnte nun für

n

alle Werte von 4 - 10 nehmen und die Aussage mit diesen Werten Beweisen. Aber ich glaube nicht, dass dies der richtige Weg ist, oder?

Sei mir nicht böse, aber diese Induktionsgeschichte ist für mich (noch) ein bömisches Dorf.

Danke & Gruß
Jenne

MBler07 aktiv_icon

22:40 Uhr, 14.10.2008

Kein Problem. Ich hab das früher auch nicht verstanden ;-)

Probiers mal mit

{(n + 1)}^{2} > (n + 1) + 1

\to . .

Jenne aktiv_icon

22:47 Uhr, 14.10.2008

hm... das wäre dann also ausgeschrieben

n = 2

(n + 1)^{2} > (n + 1) + 1

(2 + 1)^{2} > (2 + 1) + 1

3^{2} > 4

9 > 4

Heißt dass, um etwas vollständig zu beweisen muss ich

n

den kleinsten Wert geben und anschließend

n = n + 1

beweisen?

MBler07 aktiv_icon

22:52 Uhr, 14.10.2008

Nein. Vergiss die Zahlen.

Induktionsanfang:

n = 2

2^{2} > 2 + 1

4 > 3

\to

wahre Aussage

Induktionsfortsetzung (oder so ähnlich):

{(n + 1)}^{2} > (n + 1) + 1

n^{2} + 2 n + 1 > n + 2

n^{2} + n > 1

n^{2} > 1 - n

\to

wahr

Und damit ist diese Behauptung bewiesen.

axmath aktiv_icon

22:54 Uhr, 14.10.2008

Behauptung: n^2>n+1 für jedes n größer oder gleich 2

Induktionsanfang: n=2 n^2=2^2=4>3=n+1 ist erfüllt.

Induktionsvoraussetzung: für jedes n größer oder gleich 2 gelte n^2>n+1.

Induktionsschluss von n auf n+1 (zu zeigen ist, die Behauptung gilt für n+1 unter

der Induktionsvoraussetzung. Also : (n+1)^2>(n+1)+1)

(n+1)^2=n^2+2n+1>(n+1)+1+2n>(n+1)+1

Das ist die Aussage für n+1.

Fertig.

Jenne aktiv_icon

23:05 Uhr, 14.10.2008

ich glaube, so langsam fange ich an das ganze ein wenig zu verstehen.
Ich danke euch beiden vielmals für eure Mühe.

Gruß
Jenne

Steinedieb

23:29 Uhr, 14.10.2008

Hallo,

ich pfusch jetzt auch mit drin rum :-)

Induktionsidee:
man zeigt dass die Aussage für den ersten Wert stimmt
dann nimmt man an die Aussage sei wahr
dann zeigt man dass wenn die Aussage für

n

stimmt dann muss sie auch

n + 1

stimmen.

daraus folgt stimmt Aussage für den ersten Wert dann stimmt sie auch für den zweiten, denn sie stimmt für

n =

Startwert und sie stimmt für

n + 1

damit stimmt sie aber auch für alle weiteren denn die Aussage stimmt auch für

n =

Startwert

+ 1

und damit auch für Startwert+2

. .

.

Ich mach mal nen Beispiel:
zeige mit Induktion dass

1 + 2 + 3 + ... + n = \frac{n (n + 1)}{2}

für alle

n

€

N

gilt

Induktionsanfang: (Beweis dass für Startwert stimmt)
sei

n = 1 :

linke Seite

= 1

rechte Seite

= \frac{1 (1 + 1)}{2} = 1

,also linke Seite = rechte Seite
Induktionsbehauptung: (siehe Fragestellung)
diese Induktionsbehauptung muss in den Beweis einfließen sonst ist keine Induktion.
Induktionsschritt:

n

nach

n + 1

1 + 2 + ... + n + n + 1 = (1 + 2 + ... + n) + n + 1

(ich hab einfach nur eine Klammer gesetzt)
Der vordere Teil (der eingeklammerte) entspricht der Induktionsbehauptung also folgt:

(1 + 2 + ... + n) + n + 1 = \frac{n (n + 1)}{2} + n + 1 = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{1}{2} n + n + 1 = \frac{1}{2} n^{2} + \frac{3}{2} n + 1 = \frac{n^{2} + 3 n + 2}{2} = \frac{(n + 1) ((n + 1) + 1)}{2}

Ich hab nun die linke Seite so umgeformt dass sie der rechten Seite entspricht denn hätte man auf der rechten Seite von der Induktionsbehauptung alle

n' s

durch

(n + 1)' s

ersetzt wär genau das da gestanden

Gruß steini

Jenne aktiv_icon

23:38 Uhr, 14.10.2008

Hi Steini,

das ist gemein ;-) gerade als ich dachte, dass ich es verstehen könnte, kommste mit so einem Klopper.
Ich muss da erstmal ne Nacht drüber schlafen. Vielleicht kommt die große Eingebung ja im Schlaf (ist bisher noch nie passiert).

Da muss ich auf jeden Fall nochmal dran.

Vielen Dank und Gute Nacht
Jenne

Jenne aktiv_icon

19:53 Uhr, 15.10.2008

Hallo nochmal,

ich habe gut darüber nachgedacht und hoffe nun, es verstanden zu haben. Daher würde ich gerne versuchen meine zweite Aufgabe zu lösen.

Behauptung:

n^{2} \geq 2 n + 3

für alle

n \geq 3

Induktionsanfang:

n = 3

n^{2} = 3^{2} = 9 \geq 9 = 6 + 3 = 2 n + 3

Induktionsvoraussetzung:
Für jedes

n \geq 3

gelte

n^{2} \geq n + 1

Induktionsschluss:
Von

n

auf

n + 1

(n + 1)^{2} \geq 2 (n + 1) + 3

n^{2} + 2 n + 1 \geq 2 n + 4

n^{2} + 2 n \geq 2 n + 3

n^{2} + n \geq n + 3

hm... sieht komisch aus. Ich bin mir überhaupt nicht sicher, ob das richtig ist.
Wäre echt toll, wenn sich das jemand ansehen könnte.

Danke vielmals.

Gruß
Jenne

axmath aktiv_icon

20:01 Uhr, 15.10.2008

Nein so geht das nicht.

axmath aktiv_icon

20:15 Uhr, 15.10.2008

Die 2. Aufgabe ist ein schlechtes Beispiel für die vollatändige Induktion; ich nehme deshalb noch einmal die 1. Aufgabe:

n^2>n+1 für jedes n größer oder gleich 2

Dies ist die Behauptung und auch die Induktionsvoraussetzung. zu zeigen ist

(n+1)^2>(n+1)+1

Wir fangen an; den Induktionsanfang haben wir damals gemacht und wir kommen jetzt zum

Induktionsschluss:

(n+1)^2=n^2+2n+1>(n+1)+2n+1 diese Ungleichung gilt nach Induktionsvoraussetzung

n^2>(n+1) Weiter geht es:(n+1)+2n+1>(n+1)+1 indem ich 2n>0 auf der rechten Seite

weglasse.

Und fertig.

BobbyFischer aktiv_icon

20:16 Uhr, 15.10.2008

wie wärs hiermit

http//www.onlinemathe.de/forum/Frage-zur-vollstaendigen-Induktion-Induktion

BobbyFischer aktiv_icon

20:44 Uhr, 15.10.2008

n²≥2n+3 für alle n≥3

IA: n=3
es gilt n²≥2n+3 (da 9≥9)
IV: (n+1)²≥2(n+1)+3
IS: (n+1)²=n²+2n+1
n²+2n+1≥2n+5 |-1-2n
n²≥4
n≥2 (was gilt)

Das wars schon. Was hab ich gemacht?
Erstens) Ich hab gezeigt, dass n²≥2n+3 für den Induktionsanfang gilt.
Zweitens) Ich hab gezeigt, dass es für den Nachfolger auch cool ist. (n≥2 ist die
Bestätigung)
---------------------------------------------------------------------------------

Man hat 3 Schritte. IA, IV und IS Alles Richtig oder was falsch?

axmath aktiv_icon

20:48 Uhr, 15.10.2008

@BobbyFischer

Meiner Meinung nach hast du die vollständige Induktion nicht verstanden!

BobbyFischer aktiv_icon

23:45 Uhr, 15.10.2008

wieso geht das nicht? ich hab gezeigt, dass die vermutung für das Anfangsglied gilt. Außerdem hab ich gezeigt, dass es auch für das jeweilige Folgeglied gilt.

Ist das nicht vollständige Induktion? Was hab ich falsch gemacht.
Vielleicht sollte ich mir den Wilipediaartikel nochma durchlesen. Aber morgen erst :-)

BobbyFischer aktiv_icon

00:02 Uhr, 16.10.2008

das hast du auf jeden fall falsch gemacht jenne:

(n+1)2≥2(n+1)+3
n2+2n+1≥2n+4

du hast falsch ausgeklammert 2(n+1)+3=2n+5

BobbyFischer aktiv_icon

00:17 Uhr, 16.10.2008

ich kann dir nicht sagen, was du falsch gemacht hast. ich bin auf dem gleichen Tripp. aber das wird uns ja der andere sagen....

bis morgen

Steinedieb

00:58 Uhr, 16.10.2008

Hallo Jenne,

dein Induktionsschluss ist nicht ganz richtig. Du mußt in deinen Induktionsschluss irgendwo die Induktionsbehauptung einfließen lassen.
Du hast hier:

{(n + 1)}^{2} \geq 2 (n + 1) + 3

geschummelt, vorher weißt du denn das die linke Seite

\geq

rechte Seite ist? Du hast es hier einfach behauptet und so darf man nicht beweisen.

{(n + 1)}^{2} = n^{2} + 2 n + 1

deine Induktionsbehauptung sagt n²

\geq 2 n + 3

und logischerweise gilt

2 n + 1 \geq 2

also gilt:

n^{2} + 2 n + 1 \geq 2 n + 3 + 2

{(n + 1)}^{2} \geq 2 n + 5

{(n + 1)}^{2} \geq 2 (n + 1) + 3

und wie von Zauberhand steht das richtige Ergebnis da. Die einzige Frage ist wie bin ich auf

2 n + 1 \geq 2

gekommen.

gruß steini

Jenne aktiv_icon

09:28 Uhr, 16.10.2008

Also, eines muss ich erstmal loswerden: Ich danke euch recht herzlich für eure Hilfsbereitschaft.

Das ist echt super von euch.

Leider fühle ich mich bei diesem Thema total überfordert. Der sprichwörtliche Groschen ist noch nicht gefallen. So sehr ich mir die Sachen auch ansehe, ich komme einfach nicht zur Erleuchtung.

Mein großes Problem ist, wie Steini so schön gesagt hat "Die einzige Frage ist wie bin ich auf 2n+1≥2 gekommen".

Ich weiß einfach nicht, wie das Ergebnis aussehen muss, um meine Behauptung beweisen zu können.

Gruß
Jenne

Steinedieb

09:59 Uhr, 16.10.2008

OK einmal versuch ich es noch

Induktionsschritt:
1. Vorüberlegung: Wie muss Ergebnis aussehen?

a)

Setze in rechte Seite der Induktionsbehauptung für n-Werte

n + 1

ein

2 (n + 1) + 3

b)

vereinfache Term falls möglich

2 (n + 1) + 3 = 2 n + 5

2.Setze in linke Seite

n + 1

ein:

{(n + 1)}^{2}

3.Forme linke Seite in die Form:
Induktionsbehauptung(linke Seite)

+

Rest um
n²(Induktionsbehauptung)

+ (2 n + 1

)
4. Lasse Ind.Behauptung einfließen

(i n

dem Fall eine

\geq

Relation):
Induktionsbehauptung(linke Seite)

+

Rest

\geq

Induktionsbehauptung(rechte Seite)

+

Rest

n^{2} + (2 n + 1) \geq 2 n + 3 + (2 n + 1)

5. Versuche rechte Seite in gewünschte Lösung umzuwandeln (siehe

1 . b)

)

2 n + 3 + (2 n + 1) = 4 n + 4 \geq 3 n + 5

(da

n \geq 1,

da natürliche Zahl)

3 n + 5 \geq 2 n + 5 = 2 (n + 1) + 3

gruß steini

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