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Wahrscheinlichkeitsrechnung

Schüler

Tags: Münzwurf, Wahrscheinlichkeit

Lea27 aktiv_icon

21:06 Uhr, 27.05.2014

Die Aufgabe:
Wie oft muss man eine Münze werfen, damit die relative Häufigkeit für Kopf mit etwa 95%iger Wahrscheinlichkeit im Intervall

[

o,4?0,6] liegt?

Ich muss doch

n

ermitteln, oder?
Aber ich weiß nicht wie.
Danke schoneinmal.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Aurel

22:43 Uhr, 27.05.2014

Theorie siehe: nibis.ni.schule.de~lbs-gym/Stochastikpdf/Tschebyschew.pdf

[

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in deinem Fall:

0,05 \geq \frac{p \cdot (1 - p)}{n \cdot ε^{2}}

0,05 \geq \frac{0,5 \cdot (1 - 0,5)}{n \cdot {0,1}^{2}}

\Rightarrow n \geq 500

- - - - - - - - - - - - - - - - -

weitere Theorie

Schwaches Gesetz für relative Häufigkeiten:

de.wikipedia.org/wiki/Gesetz_der_gro%C3%9Fen_Zahlen#Schwaches_Gesetz_f.C3.BCr_relative_H.C3.A4ufigkeiten

Tschebyscheff-Ungleichung:

de.wikipedia.org/wiki/Tschebyscheff-Ungleichung

Matlog aktiv_icon

00:45 Uhr, 28.05.2014

Wir gehen hier sicherlich von einer "fairen" Münze mit

p = \frac{1}{2}

aus, die

n

Mal geworfen wird.
Somit Erwartzungswert

μ = \frac{1}{2} n

und Standardabweichung

σ = \sqrt{n \cdot p \cdot (1 - p)} = \frac{1}{2} \cdot \sqrt{n}

.

Das Problem mit der Tschebyscheff-Ungleichung ist, dass sie für beliebige Zufallsvariable mit dieser Varianz von

\frac{1}{4} n

gilt, also nicht nur für eine Binomialverteilung. Deshalb ist die Tschebyscheff-Ungleichung meist nicht besonders "scharf".
Für die sich daraus ergebenden

n \geq 500

liegt die Wahrscheinlichkeit in Wirklichkeit weit über den geforderten

95 %

.

Was könnte man sonst machen? Ich kenne Euren momentanen Wissensstand in der Theorie leider nicht.
Meiner Meinung nach wäre die Anwendung der sogenannten sigma-Regeln die einfachste Möglichkeit:
Hier gilt die 2 sigma-Regel

P (| X - μ | \leq 2 σ) = 0,955

.
Das bedeuted jetzt für unseren Fall:

n \cdot 0,1 \geq 2 σ = 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot \sqrt{n} = \sqrt{n}

0,01 \cdot n^{2} \geq n

n \cdot (n - 100) \geq 0

n \geq 100

Lea27 aktiv_icon

16:02 Uhr, 28.05.2014

Ich verstehe leider nicht, wie man auf die

500

kommt

prodomo aktiv_icon

16:34 Uhr, 28.05.2014

Du musst in der Antwort von aurel die letzte Ungleichung nach

n

auflösen. Sagt dir Normalverteilung etwas ?

Aurel

21:11 Uhr, 28.05.2014

Weißt du mit welcher Methode du die Aufgabe lösen sollst - mit der Tschebyscheff-Ungleichung oder der Sigma-Umgebung, letztere liefert, wie man sieht, ein genaueres Ergebnis (exakt müsste man mindestens

97

mal werfen - wenn ich mich nicht verrechnet habe). Aber vielleicht sollte das eine Übungsaufgabe zur Anwendung der Tschebyscheff-Ungleichung sein, wobei ich vermute, dass das eher selten Schulstoff ist.

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