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Warteschlangen mit genügend Wechselgeld in Kasse?

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß

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10:22 Uhr, 01.06.2016

Hallo,

Kann jemand mir bei der Lösung der Aufgabe helfen? Vielen Dank im Voraus!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

13:07 Uhr, 01.06.2016

Die Aufgabe ist leider nicht sehr eindeutig formuliert.
Ich wage annehmen zu dürfen, dass die 6 Personen nicht nur anhand ihres Geldbeutelinhalts zu unterscheiden sind,
sondern auch anhand ihrer Namen.

Vorschlag, geben wir den Personen Namen.

>

nennen wir die Personen mit 10Euro Schein:

a, b, c, d

>

nennen wir die Personen mit 20Euro Schein:

X, Y

Jetzt mach dir die Aufgabe klar, indem du Beispiele für Reihenfolgen vor Augen führst, die funktionieren,
und Beispiele für Reihenfolgen vor Augen führst, die nicht funktionieren.

zB. Reihenfolge die funktioniert:

c, Y, a, b, X, d

zB. Reihenfolge die nicht funktioniert:

X, a, b, c, d, Y

oder

d, Y, X, b, c, a

1 .)

Wie viele Reihenfolgen gibt es insgesamt?
Das ist einfach...

2 .)

Tipp: Du tust dir leichter, wenn du dir klar machst, wie viele Reihenfolgen NICHT funktionieren werden.
(sogenanntes Gegenereignis)
Welche Bedingungen müssen denn bestehen, damit keine funktionsfähige Reihenfolge zustande kommt?

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14:40 Uhr, 01.06.2016

Hallo,

Also insgesamt gibt es 6! Möglichkeiten, die 6 Personen zu verteilen. Was nicht vorkommen müssen - eine Person mit 20 Euro darf nicht zu beginn stehen und die 2 Personen mit 20 Euro dürfen nicht an 2. und 3. Position stehen. Ansonsten dürfte alles erlaubt sein..

anonymous

15:17 Uhr, 01.06.2016

Antwort auf

1)

ja, es gibt insgesamt

6!

Möglichkeiten.

Ich ahne, dass auch die Antwort auf

2)

ansatzweise richtig sein könnte.
Es mangelt jetzt einfach an einer klaren Formulierung.
In dem Maße, in dem es dir gelingt, deine Gedanken eine klare Linie und in klare Worte zu fassen,
in dem Maße wird es dir auch gelingen, in der Aufgabenlösung Vertrauen und Fortschritt zu erzielen.

Was darf mit

X

oder

Y

oder XY nicht passieren?

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15:27 Uhr, 01.06.2016

Was nicht passieren dürfen -

X,a,b,c,d,Y oder

Y,a,b,c,d,X oder

a,X,Y,b,c,d oder

a,Y,X,b,c,d usw.

anonymous

15:32 Uhr, 01.06.2016

Ja, du hast auch Beispiele benannt, in denen die Reihenfolge nicht funktioniert.
Aber was ist denn das charakteristische?
Worauf kommt es dann an?
Was hast du dir überlegt, als du diese Beispiele aufgeschrieben hast?

zB. dein erstbenanntes Beispiel

X, a, b, c, d, Y

Woran scheitert es denn?
Scheitert es denn daran, dass

d

an 5. Stelle steht?

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15:37 Uhr, 01.06.2016

Nein, also es scheitert, weil es ein 20 Euro Schein ganz nach vorne steht.

anonymous

15:44 Uhr, 01.06.2016

Ja, genau.
Die Antwort auf

2)

wird lauten:

Die Reihenfolge funktioniert nicht, wenn

2.1)

X

ganz am Anfang steht.
anschaulich:

X, ., ., ., .,

2.2)

jetzt bist du dran...

2.3)

jetzt bist du dran...

2.4)

jetzt bist du dran...

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15:51 Uhr, 01.06.2016

2.1 X ganz am Anfang steht (X....)

2.2 Y ganz am Anfang steht (Y....)

2.3 XY ganz am Anfang stehen (XY....) (YX....)

2.4 XY nacheinander an Stelle 2 und 3 stehen ((.XY...) (.YX....)

anonymous

16:25 Uhr, 01.06.2016

Ich korrigiere ein wenig.

Die Reihenfolge funktioniert nicht, wenn

2.1)

X

ganz am Anfang steht.
anschaulich

X, ., ., ., .,

2.2)

Y

ganz am Anfang steht.
anschaulich

Y, ., ., ., .,

2.3)

Was soll denn jetzt noch "XY gang am Anfang steht"?? Das hatten wir doch schon unter

2.1

.
Was soll denn jetzt noch "(YX...)"?? Das hatten wir doch schon unter

2.2

2.4)

X

an Stelle 2 und

Y

an Stelle 3 kommt.
anschaulich

., X, Y, ., .,

2.5)

Y

an Stelle 2 und

X

an Stelle 3 kommt.
anschaulich

., Y, X, ., .,

.

Ja. Das war schon ein guter Start, die Gedanken auf eine gerade Linie zu bringen.
Jetzt wird's einfach.

2.1)

Wie viele Fälle sind denn dem Fall

2.1

gemäß?

X, ., ., ., .,

2.2)

Wie viele Fälle sind denn dem Fall

2.2

gemäß?

Y, ., ., ., .,

2.4)

Wie viele Fälle sind denn dem Fall

2.4

gemäß?

., X, Y, ., .,

2.5)

Wie viele Fälle sind denn dem Fall

2.5

gemäß?

., X, Y, ., .,

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16:45 Uhr, 01.06.2016

Aber hier kommt mein Problem.. Wenn ich ein Blatt habe kann ich leicht die alle Möglichkeiten nennen, aber das würde zu lange dauern.. Wie kann ich das mathematisch berechnen?

anonymous

16:52 Uhr, 01.06.2016

genauso einfach, wie du unter

1 .)

gerechnet hast.
Bedenke:

>

an erster Stelle steht

X

>

auf den 5 Stellen

2 - 6

stehen die Personen

a, b, c, d, Y

in beliebiger Reihenfolge.

Bummerang

16:52 Uhr, 01.06.2016

Hallo,

warum versucht ihr euch nicht an einer allgemeinen Lösung?

Anzahl Kunden:

n

Anzahl Kunden mit passendem Geld:

m

Anzahl Kunden mit dem doppelten des passenden Geldes:

n - m

m < \frac{n}{2} \Rightarrow

Es kommt immer dazu, dass der Kassierer irgendwann kein Wechselgeld mehr hat

m \geq \frac{n}{2} \Rightarrow

Der Kassierer hat in

(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ m + 1 \end{matrix})

Fällen immer genügend Wechselgeld

Hier konkret:

(\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 4 + 1 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 6 \\ 4 \end{matrix}) - (\begin{matrix} 6 \\ 5 \end{matrix}) = \frac{6 \cdot 5}{1 \cdot 2} - \frac{6}{1} = 15 - 6 = 9

Stenli aktiv_icon

18:38 Uhr, 01.06.2016

Ich danke dir sehr Bummerang! Jetzt ist es mir ganz klar :)

Roman-22

19:22 Uhr, 01.06.2016

Vorsicht! Die 9 sind dann Lösung, wenn man die Wartenden als nicht unterscheidbar annimmt und nur in 10er und 20er einteilt. Wie cositan schon festgestellt hat, geht aus der Formulierung der Aufgabe nicht klar hervor, wie das gehandhabt werden soll.
Ich würde allerdings auch eher dazu neigen, die Personen auch abseits ihres Geldscheins als voneinander unterscheidbar anzusehen. Damit müsste die Lösung 9 von oben eben noch mit

2! \cdot 4!

multipliziert werden um die Anzahl

432

der möglichen wechselgeldgünstigen Warteschlangen, die aus den 6 Personen gebildet werden können, zu erhalten.

R

P . S . :

Die vielen Fallunterscheidungen im ersten Teil der Diskussion sind wohl des guten zuviel, gibt es im Wesentlichen doch nur zwei verschiedene Warteschlangentypen:

1)

[

10]-[10]-[die restlichen vier beliebig]
und

2)

[

10]-[20]-[10]-[die restlichen drei beliebig]

Die Anzahl der Möglichkeiten für

1)

sind

4 \cdot 3 \cdot 4 \neq 288,

die Anzahl der Möglichkeiten für

2)

sind

4 \cdot 2 \cdot 3 \cdot 3! = 144

und die Summe ergibt auch die gesuchten

432

Stenli aktiv_icon

21:20 Uhr, 01.06.2016

So, es gibt 2 verschiedene Möglichkeiten, der Aufgabe zu lösen :

1) 9 . 2! . 4! = 432 und

2) 288 + 144 = 432

Sind die beiden äquivalent oder ne?

Roman-22

23:57 Uhr, 01.06.2016

>

Sind die beiden äquivalent oder ne?
Naja, die Werte sind identisch und die Berechnungsmethode musst du ohnedies detailliert erklären, denn nur die Terme sind für eine Lösung wohl zu wenig. Und mit der korrekten, passenden Erläuterung sind zweifelsohne beide Wege OK.

Stenli aktiv_icon

14:23 Uhr, 07.05.2022

@Bummerang Woher kommt diese Formel?

(\begin{matrix} n \\ m \end{matrix}) - (\begin{matrix} n \\ m + 1 \end{matrix})

HAL9000

15:40 Uhr, 07.05.2022

Eine mögliche Erklärung basiert auf dem Spiegelungsprinzip, wie es etwa hier

www.matheboard.de/thread.php?postid=1252642#post1252642

erläutert wird (zu beachten ist selbstverständlich, dass in dem verlinkten Beitrag die Symbole

m, n

eine andere Bedeutung haben als hier).

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