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Was sind eigentlich Ideale?

Universität / Fachhochschule

Ringe

Tags: Hauptideal, Hauptidealring, Ideal, Ring

 
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Lyla93

Lyla93 aktiv_icon

10:09 Uhr, 25.07.2013

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Hallo,
ich will über den Semesterferien nochmal das gesamte Lineare Algebra I und II Skript nacharbeiten, damit ich auch wirklich alles verstanden habe. Ein Thema bereitet mir momentan aber irgendwie Probleme, da ich nicht wirklich verstehe, was dahinter stecken soll: Ideale in K[x]. Ich kenne die Definition und die Kriterien, die ein Ideal erfüllen muss, aber ich verstehe es einfach nicht.
Auch die Beispiele helfen mir nicht zur Veranschaulichung und wofür ich ein Ideal gebrauchen kann weiß ich auch nicht.
Kann mir jemand in ein paar Sätzen vielleicht mal verständlich ausformulieren, um was es sich dabei eigentlich handelt?

Grüße!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:12 Uhr, 25.07.2013

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Schau mal hier:

http//www.uni-protokolle.de/Lexikon/Ideal_(Mathematik).html


mfG

Atlantik
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michaL

michaL aktiv_icon

10:26 Uhr, 25.07.2013

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Hallo,

Grundlage, um Ideale zu verstehen, sind allgemein algebraische Strukturen.
Sicher kennst du als algebraische Strukturen Gruppen, Vektorräume und eben Ringe.

Zwischen Vertretern der GLEICHEN Kategorie gibt es Abbildungen, die die algebraische Struktur respektieren, mit einfachen Worten ausgedrückt: Homomorphismen.

Bei Gruppenhomomorphismen kann es vorkommen, dass nicht nur das neutrale Element der ersten auf das neutrale Element der zweiten Gruppe abgebildet wird. Die Menge aller Elemente der ersten Gruppe, die auf das neutrale Element (der zweiten Gruppe) abgebildet werden, bilden eine besondere Struktur: einen Normalteiler. Das ist eine Untergruppe mit besonderer Eigenschaft (abgeschlossen gegen innere Automorphismen).

Bei Vektorräumen ist es ähnlich, allerdings bilden alle Elemente des ersten Vektorraums, die auf den Nullvektor (des zweiten Vektorraums) abgebildet werden, "nur" einen Vektorraum (Kern der Abbildung/des Homomorphismus' genannt).

Und nun wieder zu den Ringen, auch dort kann man alle Elemente betrachten, die auf die Null (neutrale Element der Addition) des zweiten Rings abgebildet werden. Wie bei Gruppen ist die eine Unterstruktur (Unterring) mit besonderer Eigenschaft: sie ist nicht nur abgeschlossen gegen Multiplikation mit allen Elementen dieser Unterstruktur sonder gegen Multiplikation mit ALLEN Ringelementen.
Und diese Struktur nennt man Ideal.

Platt gesagt: Ideale sind die Normalteiler der Ringe (bzw. Ringhomomorphismen).
Für jedes Ideal I eines Ringes R gibt es einen weiteren Ring S und einen Ringhomomorphismus φ:RS, sodass die Menge der Urbilder von 0S gerade I ist, d.h. es gilt {xRφ(x)=0S}=I.

Mfg Michael
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