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Welche Polynome haben diese Nullstellen

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Tags: Funktion

 
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underworld000

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20:11 Uhr, 10.02.2016

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Hallo liebe Leute,

ich soll Polynome bestimmen die die Nullstellen bei +/-1; +/-3; +/-5; 0 haben. Polynom ist doch eine zusammengesetzte Funktion aus mehreren Teilen, oder hab ich das falsch verstanden? Zumindest kann man ein Polynom aus gegebenen Bedingungen aufstellen...
Sonst steht da nur "Es sind keine weiteren Nullstellen vorhanden".
Ich weiß gar nicht wie man das löst!! :-(
Das kann nicht so schwer sein, nur weiß ich rein gar nicht, wie ich dabei vorgehen muss!

Danke!!!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Online-Nachhilfe in Mathematik
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Atlantik

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20:22 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Nullstellenform von Polynomen:

z.B.:

N1(1|0) und N2(-1|0)

fa(x)=a(x-1)(x+1)

Nun kannst du weitere Faktoren anhängen.


mfG

Atlantik


Zeichnung:

Unbenannt
underworld000

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21:05 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Hallo, ja das ist mir bekannt, das habe ich auch gemacht: P(x)= (x+1)*(x-1)*(x+3)*(x-3)*(x+5)*(x-5)

Aber was muss ich als nächstes machen? Ausmultiplizieren ne? Hier hackt bei mir, weil ich keine Ahnung vom nächsten Schritt habe. Und wenn ich das getan hab, hab ich dann die Fktsgleichung raus, bin ich fertig?

Danke.
Antwort
Atlantik

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21:13 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Du kannst noch (x+1)(x-1) zusammenfassen zu (x2-1)u.s.w.

Ausmultiplizieren ist m.E. nicht notwendig.

Es fehlt bei dir noch der Faktor x, weil f(x) auch durch den Ursprung geht.

mfG

Atlantik
Antwort
anonymous

anonymous

21:16 Uhr, 10.02.2016

Antworten
... und vergiss nicht, dass man deine Polynomfunktion noch mit einer beliebigen Konstante multiplizieren kann.
underworld000

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21:28 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Hallo,

ja mit der Konstanten hab ich schon rausbekommen, also hab stehen: a*(x+3)*(x-3)*(x+1)*(x-1)*(x+5)*(x-5). (Muss ich das hier geordnet aufschreiben, also erst a*(x+1)*(x-1)*(x+3)*(x-3)*(x+5)*(x-5) oder ist das egal?)

Was sind die nächsten Schritte ich machen muss?

Vielen Dank für eure Mühe!!!
underworld000

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22:34 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Wenn ich als Nullstellen PLUS 1, MINUS 1; PLUS 3, MINUS 3; PLUS 5, MINUS 5, und die 0 gegeben hab, heißt das nicht dass die Fit achselsymmetrisch sein muss??


Ah helft mir bitte diese Aufgabe ne!!!


Antwort
pleindespoir

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23:17 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Die Multiplikation ist kommutativ - wenn Du die Linearfaktoren ordnest, dann ist das lediglich der Übersicht, nicht jedoch der Mathematik geschuldet.

x*(x+3)*(x-3)*(x+1)*(x-1)*(x+5)*(x-5)

Du kannst im Neuland einen Funktionenplotter suchen und die Funktion eingeben.

Nicht die Achseln sind symmetrisch, auch wenn sie vermutlich bei Dir so zucken, sondern die Funktion ist symmetrisch zur y-Achse.
Antwort
ledum

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23:23 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Hallo
nein, heisst es nicht, es ist richtig; WENN die fkt symmetrisch ist, dann sind es auch die Nullstellen, aber nicht umgekehrt.
da du ax(x2-)(x2-9)x2-25) hast, wenn du je 2 zusammenfasst sieht man direkt sogar, dass nur (wegen des x am Anfang ) ungerade Potenzen hat also ist deine fkt punktsym. ein Polynom, das auch dieselben Nullsteilen hat und symmetrisch zur y- Achse ist wäre
ax^2*(x^2-)*(x^2-9)*x^2-25)
wenn du übringens alle Polynome mit den Nullstellen xi bestimmen willst kannst du jeden der Faktoren (x-xi in einer beliebigen positiven Potenz nehmen! so wie ich hier (x-0)2 genommen habe.
Gruß ledum

Antwort
pleindespoir

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23:57 Uhr, 10.02.2016

Antworten
Ich übe Demut und begebe mich unter den Aschekübel, um meine vorschnelle Äußerung zu büßen:

Symmetrisch ist die Funktion, aber nicht zur y-Achse, sondern zum Ursprung.
underworld000

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18:03 Uhr, 11.02.2016

Antworten
Hallo ledum und andere Forummitglieder,

also ich habe P(x): (x-1)*(x+1)*(x-3)*(x+3)*(x-5)*(x+5) berechnet. Und die Rechnung ist ein langes Wirrwarr... als Endergebnis für das Polynom habe ich raus: x^6+4x^5-49x^4+54x^3+90x^2+240x-241 raus.

Könnte das stimmen? Und ist die Polynomfunktion so lang, weil wir auch den höchsten Grad von 6 gegeben haben, folgt ja daraus....


Vielen Dank für eure Mühe!!!

Lg
Antwort
Bummerang

Bummerang

18:11 Uhr, 11.02.2016

Antworten
Hallo,

P(x):(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)

"... als Endergebnis für das Polynom habe ich raus: x6+4x5-49x4+54x3+90x2+240x-241 raus.

Könnte das stimmen?"

Nein, niemals! Wegen der Symmetrie der Nullstellen zur y-Achse, kann das Ergebnis nur eine symmetrische Funktion sein. Punktsymmetrie zum Ursprung kann nicht vorliegen, da dazu der Grad ungerade sein müsste und x=0 auch eine Nullstelle wäre, bleibt also nur Achsensymmetrie zur y-Achse und da sind alle Koeffizienten zu Potenzen von x mit ungeradem Exponenten Null. Deshalb kann, ohne auch nur eine Rechnung auszuführen, Dein Ergebnis nicht stimmen! Ausserdem ist das Absolutglied das Produkt aus den negierten Nullstellen. Ohne das Produkt explizit auszurechnen, muss der Betrag des Absolutgliedes ein ungerades Vielfaches von 25 sein, d.h. die letzten beiden Stellen des Absolutglieds müssen entweder 25 oder 75 sein!

Tipp für die korrekte Berechnung: Fasse zunächst die Faktorenpaare (x-x0)(x+x0) mittels binomischer Formel zusammen, dann bleiben auf einen Schlag nur noch 3 Faktoren übrig, die Du dann durch nur noch zweimaliges Ausmultiplizieren wegbringen kannst.
Antwort
ledum

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18:50 Uhr, 11.02.2016

Antworten
Hallo
am Anfang war x=0 auch eine Nullstelle. wo ist die geblieben?
2. ein Polynom, wie gefordert ist es auch , wenn du das Produkt stehen lässt, es steht nirens, dass du das in einer anderen form angeben sollst.
aber wenn schon ausmult. dann mit Bümmerangs Rat.
Gruß ledum
underworld000

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20:20 Uhr, 11.02.2016

Antworten
Hallo!
Oh ja die 0 als Linearfaktor hab ich vergessen. Vielen Dank!
Ledum was meinst du mit deinem "polynom wie gefordert es auch..."?


Antwort
ledum

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23:02 Uhr, 11.02.2016

Antworten
Hallo
es gibt mehrere Arten Polynome Aufzuschreiben, eine davon ist da a0+a1x+....+anxn)
die andere ist a(x-x1)(x-x2)....(x-xn) wen man es durch die Nullstellen beschreibt, das ist hier der Fall.Nicht jedes Polynom hat so viele reelle Nst. drum kann man nicht jedes so beschreiben, aber dein Polynom kann man eben auch so als Produkt aufschreiben und in der Aufgabe steht nicht dass es die erste Form haben muß
Da du aber offensichtlich mit dem ausmultiplizieren erhebliche Mühe hast, mach das lieber zur Übung!
underworld000

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00:24 Uhr, 12.02.2016

Antworten
zwei Terme mit (...-.....+...)*(....+..+^2)ausmultiplizieren kann ich eigentlich, aber bei so endlos vielen Termen komm ich durcheinander, da hast du vollkommen Recht! Aber wo man Ausmultiplizieren hat, kA war das in der 7, 8 Klasse? Zumindest Unterstufe oder maximal Mittelstufe, und sorry aber da hatte ich verdammt scheiß Lehrer in Mathe, und ich stand in Mathe 4+/4/4-, allerbesten Fall 3- aufm Zeugnis. Mathe und Physik sind Fächer wo es sehr darauf ankommt, dass der Lehrer das GUT ERKLÄREN kann, sonst wird der Schüler erhebliche Probleme haben!
In der 13 habe ich eine 2- in Mathe, das auch deswegen weil ich wahrscheinlich eine 3/3+ in der Klausur geschrieben habe, mich aber mündlich gut im Unterricht beteiligt habe, was die 2- auf meinem Zeugnis gerechtfertigt hat.

So eine kleine Lebensstory von mir.

Ledum könntest du nicht die Polynome zu einem Teil ausmultiplizieren, sodass ich sehe nach welcher Vorgehensweise ich das machen muss. Oder darf man das Polynom nicht in Stücke zerteilen, die Stücke erst ausmultiplizieren und die Ergebnisse dann zusammenfügen. Am Ende nochmal die Teilergebnisse miteinander multiplizieren?
Ich wäre dir sehr dankbar....

LG
Antwort
Roman-22

Roman-22

19:02 Uhr, 12.02.2016

Antworten
Hast du Bummerangs Rat schon verinnerlicht?

Dein Polynom reduziert sich damit auf p(x)=x(x2-1)(x2-9)(x2-25)

Und, ja, du hast vollkommen Recht. Erst je zwei Klammern miteinander, etc. und dann eben die Teilergebnisse wieder miteinander multiplizieren.

Versuchs nochmal - zu deiner Kontrolle siehe das Ergebnis im Anhang.

R

Poly1
underworld000

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23:52 Uhr, 12.02.2016

Antworten
Hallo, ja (x²-1)*(x-9)*(x-25) hab ich auch, denn 1;9;25 sind ja die Quadrate der Nullstellen 1,3,5. Aber die 0 ist doch auch eine Nullstelle, hätte ich da nicht (x-0)*(x+0)=x²-0= x² auch stehen? Und ich versteh nicht wieso ganz am Anfang nur x steht, denn müsste das nicht die x²sein, eben wegen (x+0)*(x-0)?


Und zuletzt x⋅(x²−1)⋅(x²−9)⋅(x²−25)das ausmultipliziert ergibt die Lösung von der Grafik x⁷-35x⁵+259x³-225x?
Oh Gott.... was ist das für ein Bandwurm was ich ausmultiplizieren muss..... =-O
Und sorry für diese dumme Frage, aber den ersten Term (x²-1) da muss ich (so hab ich es gemacht, und wieso x²?) (x)/x²(?) mit x² malnehmen minus (x*-1)oder? Aber muss ich dann (x²-1)*(x²-9) so ausmultiplizieren: x² *x²-(x²*-9)-(-1*x²)-(-1*-1*-9)?

Oder ist es eine andere Vorgehensweise?
Und tut mir Leid für so eine Mittelstufen (?)-Frage, aber es sind solche Kleinigkeiten wo die Studenten Fehler reinhauen, das Ergebnis falsch ist; die Aufgabe 0 Punkte gibt. (Worte meiner Professorin.)Und ich weiß auch nicht mehr genau wie man solche langen, vielen Klammern miteinander multipliziert....
Ist mir schon ziemlich peinlich aber naja... guckt euch Schumi an....

Und vielen Dank an Roman-22 und Ledum!!!


LG
Antwort
anonymous

anonymous

00:09 Uhr, 13.02.2016

Antworten
Hallo
1)
Wenn du eine EINFACHE Nullstelle bei x=0 hast, dann genügt der FaktorTerm (x-0), also in anderen Worten einfach: x
Wenn du eine ZWEIFACHE Nullstelle bei x=0 hsst, dann wirst du zwei FaktorTerme (x-0)(x-0) brauchen, also einfach x2

2)
Klammern ausmultiplizieren ist wirklich Mittelstufenkram.
Es nützt nichts, Ledum darum zu bitten.
Es nützt nichts, Roman darum zu bitten.
Es nützt nur etwas, wenn man selbst was tut: üben, üben, üben und damit Sicherheit und fehlerfreieres Arbeiten aneignen.

3)
Ich schließe mich Ledums Vorschlag unbedingt an, und will dir nur nochmals nahelegen.
Wozu überhaupt ausmultiplizieren? Ist das verlangt? Wozu ist das dienlich?
Du hast doch schon die Polynomfunktion in der höherwertigen, weil ausgeklammerten und aussagekräftigeren Form:
y=kx(x-1)(x+1)(x-3)(x+3)(x-5)(x+5)

Antwort
Roman-22

Roman-22

03:22 Uhr, 13.02.2016

Antworten
Cositans Ausführungen ist kaum etwas hinzuzufügen.
Wenn du mit dem Ausmultiplizieren nicht zu Rande kommst, dann stelle deine Rechnung eben hier ein und ich bin sicher, dass irgend jemand deine Fehler finden wird.

Was das einfache x anlangt und warum ich nicht x2 geschrieben hatte - weil in der Angabe nur verlangt ist, dass an der Stelle x eine Nullstelle liegen soll. Da ist nicht gefordert, dass es eine doppelte Nullstelle sein soll.

Die Funktion p(x)=(x-0)(x-1)(x-3)(x-5)(x+1)(x+3)(x+5) ist die Minimalvariante einer Polynomfunktion, die die geforderten sieben Nullstellen hat.
Wie dir schon mehrfach gesagt wurde, kannst du diesen Funktionsterm mit einer beliebigen Konstanten multiplizieren und diese neue Funktion hat trotzdem wieder die sieben geforderten Nullstellen.
Aber mehr noch. Du kannst diesen Funktionsterm gerne auch mit 1400(x-12)(x+29) multiplizieren. Auch diese Funktion neunten Grades hat die geforderten sieben Nullstellen. Zusätzlich hat sie auch noch Nullstellen bei +12 und -29.
Und somit kannst du mein p(x) gerne auch nochmals mit x multiplizieren. Du erhältst dann eine y-Achsen-symmetrische Funktion achten Grades, welche im Ursprung die x-Achse berührt, also in x0=0 eine zweifach zu zählende Nullstelle besitzt.

Die allgemeine Lösung für deine Aufgabe ist ja p(x)=(x7-35x5+259x3-225x)q(x), wobei q(x)0 ein beliebiges Polynom in x sein kann - am einfachsten ist natürlich q(x)=1.

R

Poly2
underworld000

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16:46 Uhr, 13.02.2016

Antworten
Seht meine Rechnung aufm Bild.





Joo meine Fresse ich habs auch mal endlich raus, Alter wie blöd ich bin.... O.o....... -.-
..... Sorry für die Wortwahl mir selbst gegenüber aber ich bin über mich selbst stinksauer!
Und mein drecksimac von dieser verfluchten, scheiß Firma apple spackt ja aufs übelzte rum, mit ios gehts nimmer an weil ich datein löschen soll, weil der speicher voll sei. Aber das kack LINUXSCHEIßTEIL (denn imac etc basiert auf Linux, und das ist UMSONST das betriebssystem, nur apple macht den preis zu 95% höher weil es doch "uuuuh ein APPLE Gerät ist!). Ich kann mitm mac nur mit win 7 was auch drauf ist, das kackteil hochfahren, aber so hat es kein wlan, ganz "merkwürdiger weise"!!!!

Ahh sorry aber ich musste bisschen ausrasten, war nötig.

Also hab ja das bild hier reingetan, wie ich gerechnet hab, die Kringel, Rechtecke für die Übersicht damit ich eine ^3 oder ^5 Zahl nicht vergesse! :-!!

Lg!

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underworld000

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16:51 Uhr, 13.02.2016

Antworten
2versuch

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Antwort
Roman-22

Roman-22

18:24 Uhr, 13.02.2016

Antworten
Na, jetzt scheint es ja zu stimmen.

Allerdings solltest du in der ersten Zeile noch den Faktor (x+0) weg lassen, sonst müsstest du tatsächlich mit x2 rechnen und würdest damit einen Teil der möglichen Lösungsfunktion ausschließen.

In der dritten Zeile fehlt beim ersten Faktor die schließende Klammer.
In der vierten und in der fünften Zeile fehlt jeweils beim ersten Faktor das Klammerpaar.

R

underworld000

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21:28 Uhr, 13.02.2016

Antworten
Hallo, ja danke Recht hast Du, so auf die Details hatte ich nicht geachtet, mir war es wichtig dass mein Ausmult. Vorgang stimmte, und das ist ja der Fall. Und stimmt wenn ich (x+0) *(x-0) stehen lasse kommt x^2 raus logisch. Aber das tue ich doch bei den Faktoren 1;3;5 auch, also wieso darf ich das nicht bei der 0 machen, sonst bekäme ich eben x^2 raus. Ist das quasi bei der 0 ein "Spezialfall),weil es eben keine positive und keine negative Null gibt? Das wirds sein oder?

Daaanke! =-)

Lg :-)
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:38 Uhr, 13.02.2016

Antworten
> das tue ich doch bei den Faktoren 1;3;5
Nein!
In der Angabe steht, dass x=3 eine Nullstelle sein soll. Daher ist (x-3) ein Faktor deines Polynoms.
In der Angabe steht auch, dass x=-3 eine Nullstelle sein soll. Daher ist auch (x-(-3))=(x+3) ein Faktor deines Polynoms.
In der Angabe steht, dass x=0 eine Nullstelle sein soll. Daher ist (x-0)=x ein Faktor deines Polynoms.
Da steht nirgendwo, dass x=0 doppelte Nullstelle sein soll oder das der Graph der Funktion bei x=0 die x-Achse berühren soll, oder Ähnliches.

Die Null ist kein Spezialfall. Speziell ist bestenfalls, dass außer x=3 "zufälligerweise" auch x=-3 Nullstelle sein soll. Daher (und nur deswegen) gibt es eben "zufälligerweise" beide Faktoren (x-3)(x+3), deren Produkt sich dann vermöge der dritten binomischen Formel eben auch kurz als (x2-9) schreiben lässt.
Kurz: Du hast genau 7 Nullstellen gegeben, daher kennst du auch nur 7 Faktoren deines Polynoms.

Die Angabe könnte auch lauten, dass du Nullstellen bei 0,1,-2,3,-4,5 und -6 haben sollst. Dann müsstest du mühsam p(x)=x(x-1)(x+2)(x-3)x+4)(x-5)x+6) rechnen und könntest nicht die Abkürzung über die dritte binomische Formel nehmen.

Aber wie dir schon mehrfach gesagt wurde - es gibt eigentlich, sofern es nicht in der Angabe explizit verlangt wird, keinen Grund, das Ganze auszumultiplizieren. Die Form p(x)=x(x-1)(x-32)(x-52) (oder auch die mit den sechs Klammerausdrücken) ist ohnedies die wertvollere.

R




underworld000

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12:14 Uhr, 14.02.2016

Antworten
Ay, ay Captain ich habe verstanden!!!:-)

Also ich hatte das gar nicht in der Aufgabenstellung geschrieben, aber ich soll "den Grad des Polynoms bestimmen", und "P(x)=..." hinschreiben. Muss ich deswegen nicht um P(x) vollständig hinzuschreiben, das ganze auch ausmultiplizieren?

Merci beaucoup :-)
Antwort
Roman-22

Roman-22

13:04 Uhr, 14.02.2016

Antworten
Wenn du sieben Klammern (x-xi) miteinander multiplizierst, musst du nicht alles ausrechnen um zu wissen, dass sich ein Polynom siebten Grades einstellt.
Und "P(x)=..." hinschreiben sagt eigentlich gar nix aus, außer dass man vor seinem Funktionsterm eben noch "P(x)=" schreiben soll.
Aber da du das ausgerechnete Ergebnis jetzt ja hast, würde ich es auch abgeben.

Denn wenn man von der Definition
"Ein Polynom ist eine (endliche) Summe von Vielfachen von Potenzen mit natürlichzahligen Exponenten einer Variablen"
ausgeht, könnte man sich natürlich das Rabulistik-Hoserl anziehen und monieren, dass die Darstellung x(x-1)(x-9)(x-25) kein Polynom sei, weil es ja ein Produkt und keine Summe ist und dass erst, wenn man vollständig ausrechnet, eine Potenzsumme und damit ein Polynom da stünde.

Mit der Angabe beider Darstellungen bist du da auf der sicheren Seite.

R

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