Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Wie DGL lösen ?

Wie DGL lösen ?

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

NEPH1L1M aktiv_icon

16:55 Uhr, 15.06.2011

Hallo,

wie lsöe ich am besten folgende DGL:

\frac{d y (t)}{d t} = - α \cdot \sqrt{y (t)}

Über Trennung der Variablen ?

Danke im voraus an alle die mir helfen!

LG NEPHI

rundblick aktiv_icon

17:00 Uhr, 15.06.2011

Ja - Über Trennung der Variablen !

versuchs mal:

\to .

NEPH1L1M aktiv_icon

17:05 Uhr, 15.06.2011

Hallo rundblick,

danke für die schnelle Rückantwort:

\frac{d y (t)}{\sqrt{y (t)}} = - α \cdot d t

\Rightarrow \frac{1}{\sqrt{y (t)}} \cdot d y (t) = - α \cdot d t

und dann beide Seiten integrieren.

Ok so ?

LG NEPHI

rundblick aktiv_icon

17:17 Uhr, 15.06.2011

und dann beide Seiten integrieren.

Ok so ?

JA .. also machs doch

: \to

NEPH1L1M aktiv_icon

17:30 Uhr, 15.06.2011

Linke Seite:

\int \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 \sqrt{y}

Rechte Seite

\int - α d t = - α \cdot t

Also ist

2 \sqrt{y} = - α \cdot t

\Rightarrow \sqrt{y} = - \frac{1}{2} α \cdot t + C

dann noch quadrieren

. .

. erscheint mir nicht richtig

Mist !

gruss NEPHI

rundblick aktiv_icon

17:40 Uhr, 15.06.2011

ja, du hast etwas Wichtiges vergessen:
mit der erforderlichen Intergationskonstante

c

sieht das dann schon gut aus:

\sqrt{y} = c - \frac{a}{2} \cdot t

ok?

NEPH1L1M aktiv_icon

18:25 Uhr, 15.06.2011

Hi Rundblick,

ach und ich dachte ich hättte schon falsch integriert

!!

Dann wäre die allgemeine Lösung

y (t) = {(- \frac{1}{2} α \cdot t + C)}^{2}

LG NEPHI

pleindespoir aktiv_icon

04:23 Uhr, 16.06.2011

Mein Vorschlag:

\frac{d y (t)}{d t} = - α \cdot \sqrt{y (t)}

\int \frac{d y}{\sqrt{y}} = - \int α d t

\int y^{- ½} d y = - \int α d t

- 2 y^{½} = - α t + C_{1}

2 y^{½} = α t + C_{2}

(2 y^{½})^{2} = (α t + C_{2})^{2}

4 y = (α t)^{2} + C_{2} (α t) + C_{2}^{2}

y (t) = ¼ ((α t)^{2} + C_{2} (α t) + C_{2}^{2})

rundblick aktiv_icon

09:37 Uhr, 16.06.2011

@ NEPH1L1M :
die von dir oben notierte Lösung ist richtig,

lass dich nicht von pleindespoir verwirren,

denn es wird ihm sicher selber peinlich sein, dass er zu später Stunde

die Stammfunktion von

y^{- \frac{1}{2}}

mit

- 2 \cdot y^{\frac{1}{2}}

etwas zu negativ
gesehen hat.

NEPH1L1M aktiv_icon

11:29 Uhr, 16.06.2011

Hallo rundblick, hallo pleindespoir,

danke zunächst für die Unterstützung!

4 : 26

Uhr früh ist wirklich eine "späte Stunde" :-)

y (t) = {(C - \frac{1}{2} α \cdot t)}^{2}

\Rightarrow y (t) = C^{2} - 2 \cdot \frac{1}{2} \cdot C α t + t^{2} = C^{2} - C α t + \frac{1}{4} α^{2} t^{2}

Mit der Anfangsbedingung

y (t = 0) = y_{0}

\Rightarrow y_{0} = C^{2} - C α \cdot 0 + \frac{1}{4} α^{2} \cdot 0^{2}

\Rightarrow y_{0} = C^{2}

\Rightarrow C = \sqrt{y_{0}}

und somit die spezielle Lösung

y = {\sqrt{y_{0}}}^{2} - \sqrt{y_{0}} \cdot α t + \frac{1}{4} α^{2} t^{2}

\Rightarrow y = y_{0} - \sqrt{y_{0}} \cdot α t + \frac{1}{4} α^{2} t^{2}

Korrekt ?

L . G

. NEPHI

pleindespoir aktiv_icon

00:47 Uhr, 17.06.2011

war ja auch nur ein Vorschlag ...

... aber habe gade selber gesehen, dass mein Beitrag auch aus anderem Grunde nicht unbedingt in die Kategorie "Ei des Kolumbus" einzuornden ist.

NEPH1L1M aktiv_icon

08:15 Uhr, 17.06.2011

Hallo pleindespoir,

trotzdem Danke für den Versuch (war ja auch schon spät).

Ist dann meine allgemeine und spezielle Lösung dann richtig ?

L . G

. NEPHI

pleindespoir aktiv_icon

00:23 Uhr, 18.06.2011

sieht richtig aus

aber bei DGL immer die Probe machen - könnt ja manchmal auch nicht funktionieren, obwohl alles richtig gemacht wurde.

NEPH1L1M aktiv_icon

01:48 Uhr, 18.06.2011

Hallo pleindespoir,

also es ist

(1)

y´

= - α \sqrt{y (t)}

\Rightarrow

y´

= - α \sqrt{{(C - \frac{1}{2} α t)}^{2}}

\Rightarrow

y´

= - α (C - \frac{1}{2} α t)

\Rightarrow

y´

= - α (C - \frac{1}{2} α t)

mit

c = \sqrt{y_{0}}

\Rightarrow

y´

= - α (\sqrt{y_{0}} - \frac{1}{2} α t)

(1) \Rightarrow

y´

= - α \sqrt{y_{0}} + \frac{1}{2} α^{2} t

Weiterhin ist
(2)

y = y_{0} - \sqrt{y_{0}} α t + \frac{1}{2} α^{2} t^{2}

(2) \Rightarrow

y´=

- α \sqrt{y_{0}} + \frac{1}{2} α^{2} t

(1)

= (2)

Stimmt das so?

L . G

. NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

16:04 Uhr, 21.06.2011

⋆ ~

push

~ ⋆

:-)

pleindespoir aktiv_icon

22:24 Uhr, 21.06.2011

Ich versuche mal zusammenzufassen ...
Aufgabenstellung:

y ʹ (t) + a \cdot y (t) = 0

Lösung:

y (t) = ¼ (a^{2} t^{2} - 2 a c t + c^{2})

Anfangswert:

wie genau ist hier das AWP definiert?
Ich kann das nicht so zweifelsfrei erkennen.

"Mit der Anfangsbedingung y(t=0)=y_0"

Also kein fester Wert für

y_{0}

, sondern als Parameter stehen lassen?

Dann wäre t=0 einzusetzen:

y (0) = ¼ (a^{2} 0^{2} - 2 a c 0 + c^{2})

was ja schon erschreckend einfach zu sein scheint:

y (0) = ¼ (c^{2})

... ???

also umgekehrt

4 y_{0} = (c^{2})

c = 2 \sqrt{y_{0}}

und das dann wieder in die allgemeine Löung da oben rein:

y (t) = ¼ (a^{2} t^{2} - 2 a \cdot 2 \sqrt{y_{0}} + 4 y_{0})

y (t) = ¼ a^{2} t^{2} - a \cdot \sqrt{y_{0}} + y_{0}

*vorbehaltlich möglicher spätstundenfehler*

rundblick aktiv_icon

22:46 Uhr, 21.06.2011

y (t) = \frac{1}{4} \cdot a^{2} t^{2} - a \cdot \sqrt{y 0} + y 0

*vorbehaltlich möglicher spätstundenfehler*

tja, pleindespoir, wenn

t

für die Zeit steht, dann hast du da bei einem
der drei Summanden am Schluss vermutlich Zeit verloren?

pleindespoir aktiv_icon

23:23 Uhr, 21.06.2011

Ach ja ... mit der Zeit ...

y (t) = ¼ a^{2} t^{2} - a \cdot t \cdot \sqrt{y_{0}} + y_{0}

... wird man eben nicht jünger ...

---

jetzt aber? ... oder?

und mer müssts ja noch ableiten, um wieder Probe spielen zu können, wenn man Lust drauf hätte

NEPH1L1M aktiv_icon

12:53 Uhr, 25.06.2011

Hallo zusammen,

wenn ich die Lösung

y (t)

schon habe und die Ableitung

y

´ davon bilde, diese dann in die DGL einsetze und die Gleichung erfüllt wird, ist doch der Beweis erbracht; dazu brauche ich doch nicht mehr die Anfangsbedingungen ?

Die Integrationskonstante

C

habe ich ja schon ermittelt!

Siehe meinen Beitrag vom

18.06.2011, 01 : 48

Uhr.

L . G

. NEPHI

pleindespoir aktiv_icon

23:23 Uhr, 25.06.2011

Natürlich muss die Probe ohne Anfangsbedingungen schon stimmen.

Wenn die Probe nur mit den Anfangswerten aufginge, hättest du ja nur bewiesen, dass die Gleichung für diesen Wert gelten würde. Man will ja aber wissen, ob es überhaupt grundsätzlich immer stimmt (oder vielleicht fallen auf dem Weg Einschränkungen auf).

Also wenn ich wissen will, ob

(a+8)*12=12a+92 sind, prüfe ich das doch, ohne a eine Zahl konkret zuzuweisen.

Wenn ich das beweisen will, und ich würde a=3 annehmen, sähe das so aus:
(3+8)*12=12*3+92
hätte man das bewiesen, könnte man noch lange nicht darauf schliessen, dass das auch mit anderen Werten als 3 funktioniert.

*ziemlich unmathematikwissenschaftlich formuliert, aber dafür vielleicht verständlich*
sorry an alle Vollblutmathematiker hier schon mal vorab.

NEPH1L1M aktiv_icon

14:32 Uhr, 26.06.2011

Hallo pleindespoir,

dann ist es ja soweit geklärt

! . -)

Mir ist noch ein Fehler in meinem Beitrag vom

15.06.2011, 17 : 30

Uhr,
aufgefallen:

Linke Seite:

\int \frac{1}{\sqrt{y}} = 2 \cdot \sqrt{y}

Rechte Seite

\int - α d t = - α \cdot t

\Rightarrow 2 \sqrt{y} = - α \cdot t

⇒

\sqrt{y} = - \frac{1}{2} α \cdot t + C

[

FEHLER]

es muss heißen

\sqrt{y} = - \frac{1}{2} \cdot (α \cdot t + C)

\Rightarrow \sqrt{y} = - \frac{1}{2} \cdot α \cdot t + \frac{1}{2} C

\Rightarrow y = {(- \frac{1}{2} \cdot α \cdot t + \frac{1}{2} C)}^{2}

Mit der Anfangsbedingung

y (t = 0) = y_{0}

\Rightarrow y_{0} = {(- \frac{1}{2} \cdot α \cdot 0 + \frac{1}{2} C)}^{2}

\Rightarrow y_{0} = {(\frac{1}{2} C)}^{2}

\Rightarrow y_{0} = \frac{1}{4} C^{2}

\Rightarrow C = \sqrt{4 y_{0}}

\Rightarrow C = 2 \sqrt{y_{0}}

Und somit die spezielle Lösung:

\Rightarrow y = {(- \frac{1}{2} \cdot α \cdot t + \frac{1}{2} 2 \sqrt{y_{0}})}^{2}

\Rightarrow y = {(- \frac{1}{2} \cdot α \cdot t + \sqrt{y_{0}})}^{2}

Gruß NEPHI

rundblick aktiv_icon

14:59 Uhr, 26.06.2011

...

+ C

[

FEHLER]..."

nein, diesmal kannst du das eigentlich nicht als Fehler verkaufen,
denn:
wie du zu Beginn die Intgrationskonstante "taufen" willst, ist dir
völlig freigestellt - das Ding muss nur beliebig alle reellen Zahlen
"durchlaufen"
also kannst du am Anfang statt

C

genausogut auch zB

2 \cdot c

wählen, wenn du siehst,
dass bei der folgenden Umformung der ganze Term durch 2 geteilt werden wird,
und ab da also nachher (statt

\frac{C}{2})

nur noch

c

weiter herumsteht....

ok?

NEPH1L1M aktiv_icon

20:00 Uhr, 26.06.2011

Hallo rundblick,

ok, danke. Also war es nicht " falsch" was ich zuerst geschrieben hatte, aber wir können uns ja darauf einigen dass die Korrektur bzw. die darauffolgende Lösung nachvollziehbarer ist.

L . G

.

NEPHI

NEPH1L1M aktiv_icon

20:25 Uhr, 28.06.2011

Danke an alle!

Gruß NEPHI

900869

897461

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?