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Wie Moeddeliere ich die Funktion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Analysis, Funktion, Modellierung von Funktionen

 
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pia11

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20:00 Uhr, 19.06.2017

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Die Aufgabe Lautet:

Dümpelsdorf ist eine Kleinstadt, welche an der Elbe liegt. Derzeit leben 7000Einwohner in der Stadt. In Dümpelsdorf breitet sich eine Viruserkrankung aus. Die Anzahl der neuerkrankten Personen pro Tag wurde bisher für die ersten 60 tage durch folgende Daten erfasst:

- Zeit in Tagen
nach beobachtungsbeginn 5| 10 | 20| 30 | 40 | 50 |60
- Anzahl der neuerkrank- 22 | 37 | 55 | 61 | 61 | 56 | 50
ten Personen pro Tag



Alle Neuerkrankungen müssen dem Gesundheitsamt der Region gemeldet werden. Zu beobachtungsbeginn sind 50 Personen erkrankt.

1. Modellierunen Sie eine geeignete Funktion, mit der der zeitliche Verlauf der Epidemie beschrieben werden kann.
( hinweis: es eignen sich unter anderem ganzrtionale Funktionen, Funktionen der Form f(x)= a*x*e^b*x )

2. Beschreiben Sie, wie Sie mithilfe ihrer Funktion Aussagen machen können über relevante Merkmale der Epidemie ( beispielsweise Krankenstand, größte Geschwindigkeitszunahme des Krankenstandes,....)-> Was für Aussagen kann man noch machen?

3. Bestimmen sie mithilfe der Funktion diee eben beschriebenen Merkmale



Leider weiß ich nicht wie man das berechnet und bräuchte unbedingt hilfe!!!



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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pleindespoir

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20:07 Uhr, 19.06.2017

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Punkte in ein Koordinatensystem übertragen ?
Wenn ja bitte zeigen - wenn nein, bitte noch machen.

pia11

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20:41 Uhr, 19.06.2017

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Die Punkte habe ich schon in ein Koordinatensystem eingezeichnet.
pia11

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20:43 Uhr, 19.06.2017

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Der Graph sieht so aus
Antwort
pleindespoir

pleindespoir aktiv_icon

21:55 Uhr, 19.06.2017

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Der Graph ist nicht hochgekommen - aber es gibt ja nicht nur einen, sondern einen Haufen Varianten, wie man eine Funktion durch die Punkte hindurch oder knapp dran vorbeimodellieren kann.

Es entsteht so eine Art "Steckbriefaufgabe", indem man anhand der Punkte die üblichen Kriterien anlegt: Extrema, Nullstellen, Asymptoten, Wendestellen, blabla ...
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Roman-22

Roman-22

00:07 Uhr, 20.06.2017

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> Es entsteht so eine Art "Steckbriefaufgabe",
Nein, die entsteht nicht

> indem man anhand der Punkte die üblichen Kriterien anlegt: Extrema, Nullstellen, Asymptoten, Wendestellen, blabla ...
blabla triffts recht gut. Du kannst so gut wie keine dieser speziellen Stellen dem Punkthaufen ablesen.

In der Angabe ist doch eine Anleitung integriert und abgesehen von eine ganzrationalen Funktion ist da ja auch noch vorgeschlagen, für die Modellierung den Funktionstyp f(x)=axebx zu verwenden.
Diesem Vorschlag sollte man näher treten.
Davon, eine Polynomfunktion sechsten Grades durch die sieben Punkte zu legen würde ich abraten, denn passt vielleicht ganz gut für die ersten 60 Tage, schießt aber danach in die Höhe anstatt brav(weil realistisch für eine Epedemie) gegen Null zu gehen.

Ich gehe davon aus, dass man diese Funktion zur Modellierung der täglichen Neuerkrankten verwenden soll und nicht für den Krankheitsverlauf (da stelle ich mir darunter die Gesamtanzahl der Kranken vor.
Die Anzahl der tägl. Neuerkrankten geht für wachsende Zeit gegen Null. sodass sich die Gesamtanzahl der Kranken einem Sättigungswert nähert und dieser ist tatsächlich kleiner als die Einwohnerzahl 7000 (je nach Modell ca.5654).
Das Modell, welches hier skizziert wird, sieht unrealistischerweise nicht vor, dass Personen auch wieder gesunden.

Wie findest du nun die Parameter a und b deiner Funktion?
Das hängt davon ab, welche Methoden ihr gelernt habt.
Unter Umständen kann man auch durch gezieltes Probieren auf a=5 und b=-0,03 kommen.
Genauer gehts mit einer Kurvenanpassung unter Verwendung der Methode der kleinsten Fehlerquadrate. Das geht manuell (mühsam) oder unter Verwendung geeigneter elektronischer Hilfsmittel.
Vielleicht beherrscht dein TR diese nichtlineare Regression oder ihr dürft ein Mathe-Programm verwenden, welches diese Funktionalität bietet. In der größten Not kann mans ja auch mit einer Tabellenkalkulation probieren.


Bild2
pia11

pia11 aktiv_icon

18:41 Uhr, 20.06.2017

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was meinst du was für Aussagen ich über die Epidemie sonst noch machen kann?
ich habe bis jetzt den Krankenstand, die höchst Zunahme des Krankenstandes, sowie die höchste zunahme der neuerkrankten berechnet. Das kommt mir doch sehr wenig vor.

kann ich nicht auch eine Funktion 3.Grades machen?
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:51 Uhr, 20.06.2017

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Nun, du könntest noch angeben, ab wann die Zahl der Neuerkrankten unter 1 oder unter 0,5 fällt und man da die Epedemie als ausgestanden betrachten kann.
Du könntest angeben, wie viele Personen insgesamt der Krankheit anheim gefallen sind (nachdem niemand gesundet, werden wohl alle gestorben sein) Sättigung.

Du kannst ja mal dein Glück mit einer kubischen Parabel versuchen und sehen, inwieweit sich da ein "realistischer" Verlauf einstellt.
pia11

pia11 aktiv_icon

21:55 Uhr, 20.06.2017

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ja nach dem was ich für einen Funktionstyp habe
, unterscheiden sie sich nach dem 60 tag. Nehm ich dann eine F funktion weil sie gegen Null läuft? weil es ja so realistischer ist als eine ganz rationale Funktion, die nach dem 60 tag nur weiter ansteigt?
pia11

pia11 aktiv_icon

21:56 Uhr, 20.06.2017

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Was ist denn eine Kubische Prabell ?
pia11

pia11 aktiv_icon

22:01 Uhr, 20.06.2017

Antworten
ich meine oben nätürlich eine e- Funktion und keine F funktion
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:28 Uhr, 20.06.2017

Antworten
> Was ist denn eine Kubische Prabell ?
Eine kubische Parabel ist der Graph einer Polynomfunktion (=ganzrationalen Funktion) dritten Grades, als das, was du noch versuchen wolltest.

Ja, mir kommt die in der Angabe vorgeschlagene Funktion realistischer vor, da die Neuinfizierentenanzahl gegen Null strebt.

Du kannst aber auch eine Polynomfunktion versuchen, die eine Nullstelle (vielleicht sogar eine doppelte Nullstelle) jenseits der 60 Tage hat - die also bis dorthin auch gegen Null geht.



pia11

pia11 aktiv_icon

23:40 Uhr, 20.06.2017

Antworten
wenn ich eine Polynomfunktion finde, die eine Nullstelle hat und dann weiter in den negativen Bereich fällt. habe ich dann die Anzahl der Menschen, die dann wieder gesund werden?

Nehmen wir an die Funktion ist am Punkt ( 70|-5). Also am 70. Tag liegt die Anzahl der neuerkrankten personen pro tag bei -5. Was sagen mir die -5 denn aus? Ist es dann die Anzahl der Menschen, die sich von dem Virus erholen?
Antwort
Roman-22

Roman-22

23:47 Uhr, 20.06.2017

Antworten
> wenn ich eine Polynomfunktion finde, die eine Nullstelle hat und dann weiter in den negativen Bereich fällt. habe ich dann die Anzahl der Menschen, die dann wieder gesund werden?

:-) Ja, so könnte man es wohl interpretieren. Du musst nur darauf achten, dass nicht mehr Menschen gesunden als vorher erkrankt sind :-D)
Zumindest würde -5 aussagen, dass an diesem Tag um 5 Personen ,mehr gesunden als erkranken. Die Anzahl der Erkrankten verringert sich also an diesem Tag um 5.