Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Wie bestimmt man die Dimension von Unterräumen?

Wie bestimmt man die Dimension von Unterräumen?

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Lineare Unabhängigkeit

Matrizenrechnung

Vektorräume

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Lineare Unabhängigkeit, unterräume dimensionen basen

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
niete-10

niete-10 aktiv_icon

11:07 Uhr, 12.05.2010

Antworten
Hallo ihr,

ich habe folgende Aufgabe gestellt bekommen:

es gibt 4 Vektoren v1=(1,0,1,0),v2=(2,0,1,1),v3=(-2,0,0,-2) und v4=(1,1,1,1)

jetzt soll ich die Dimension folgender Unterräume bestimmen:

U1:= Lin(v1, v2,v3)

U2:= Lin(v1, v2)+ Lin(v3, v4)

U3:=U1 geschnitten U2.

U1 hab ich so gelöst, dass ich gezeigt habe, dass sich der Vektor v3 durch (-2)v1+2(v2) darstellen lässt! daraus folgt doch, dass die Dimension von U1=2 ist oder??

bei U2 weiß ich folgendes nicht: kann ich einfach alle 4 vektoren zusammen nehmen? dann wäre für mich die Dimension von U2=3, oder muss ich je v1,v2 und v3,v4 zu zweit betrachten? wenn ja wie?

Würde mich freuen wenn mir jemand hilft! :-)

Liebe Grüße, niete-10

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
smoka

smoka

12:49 Uhr, 13.05.2010

Antworten
Die Dimension eines Vektorraums entspricht der Mächtigkeit eines minimalen Erzeugendensystems.
Wenn Du bei U1 gezeigt hast, dass nur v1 und v2 linear unabhängig sind, dann hast Du recht und die Dimension ist 2

Ja, bei U2 kannst Du den Vektorraum betrachten, der von allen vieren aufgespannt wird. Prüfe nach welche linear unabhängig sind, dann hast Du eine Basis in der Hand.
Frage beantwortet
niete-10

niete-10 aktiv_icon

14:33 Uhr, 13.05.2010

Antworten
ok gut, danke! das habe ich geschafft! :-) und bei U3?
kann ich das einfach in die Formel einsetzen:

dimU1+dimU2=dim(U1+U2)+dim(U1 geschnitten U2)

2+3=3+? - ?=2

geht das?
Antwort
smoka

smoka

15:02 Uhr, 13.05.2010

Antworten
dim(U1+U2)=dimU1+dimU2-dim(U1U2)
dim(U1U2)=dimU1+dimU2-dim(U1+U2)
dazu müsstest Du noch die Dimension von U1+U2 kennen.
entweder errechnset Du die, oder Du bestimmt direkt die Dimension von U1U2.
Frage beantwortet
niete-10

niete-10 aktiv_icon

20:40 Uhr, 13.05.2010

Antworten
ja, die formel meinte ich. Aber wie errechne ich die dim von U1+U2? sind das nicht einfach alle 4 Vektoren zusammen? (das wäre dann ja das gleiche wie U2 schon an sich ist)
Antwort
smoka

smoka

20:58 Uhr, 13.05.2010

Antworten
Überlege Dir welche Elemente im Schnitt zweier Mengen liegen.
niete-10

niete-10 aktiv_icon

22:02 Uhr, 13.05.2010

Antworten
ah ja klar! Danke! ich hab sie nämlich vereinigt! :-D)

Dann ist U1 geschnitten U2=(v1,v2,v3) und die dim dann wie bei U1=2 oder?
Antwort
smoka

smoka

22:10 Uhr, 13.05.2010

Antworten
genau.
Frage beantwortet
niete-10

niete-10 aktiv_icon

14:28 Uhr, 18.05.2010

Antworten
Danke dir! :-)
 
Qmn_partnerlogo_neg_fond_klein_2014