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Wie findet man die Formeln für folgende Summen?

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11:54 Uhr, 01.11.2014

Ich soll für folgende Summen Formeln finden:
1: n*

(n + 1)

2 . (2 \cdot n + 1)

Für die erste Summe habe ich mir folgende Formel ausgedacht:

n^{2} + n

Aber für die zweite Summe weiß ich nicht so recht, welchen Weg ich nehmen muss, damit ich auch hierfür eine passende Formel finde.
LG Ahmed

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

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11:59 Uhr, 01.11.2014

"Für die erste Summe habe ich mir folgende Formel ausgedacht:

n^{2} + n

n^{2} + n

ist dasselbe wie

n (n + 1)

. Und Du brauchst vermutlich doch was Anderes, denn hier sehe ich noch keine Summen. Brauchst Du vielleicht

\sum_{k = 0}^{n} n (n + 1)

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12:04 Uhr, 01.11.2014

Diese Summenformel ist schon vorgegeben, ich hatte sie nur weggelassen. Die untere Grenze beträgt aber

k = 1

. Daraus soll ich nun eine Formel erstellen und diese mithilfe einer vollständigen Induktion beweisen.

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12:17 Uhr, 01.11.2014

Ich verstehe Deine Aufgabe immer noch nicht. Vielleicht solltest Du nicht so viel weglassen. :-)

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12:24 Uhr, 01.11.2014

Hast recht...

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12:37 Uhr, 01.11.2014

Ok.
Im zweiten Fall ist es einfach:

\sum_{i = 1}^{n} (2 i + 1) = 2 \sum_{i = 1}^{n} i + \sum_{i = 1}^{n} 1 = 2 \frac{n (n + 1)}{2} + n = n (n + 1) + n = n^{2} + 2 n

,

wobei ich die Gausssche Summenformel

\sum_{i = 1}^{n} \frac{n (n + 1)}{2}

benutzt habe (siehe de.wikipedia.org/wiki/Gau%C3%9Fsche_Summenformel).

Im ersten nicht so einfach, aber da hilft ein Trick.
Ich kann die Formel

(i + 1)^{3} - i^{3} = i^{3} + 3 i^{2} + 3 i + 1 - i^{3} = 3 i^{2} + 3 i + 1

dazu nutzen, um Folgendes zu bekommen:

(n + 1)^{3} = (n + 1)^{3} - n^{3} + n^{3} - (n - 1)^{3} + (n - 1)^{3} - . . . + 2^{3} - 1^{3} + 1^{3} = 1 + \sum_{i = 1}^{n} ((i + 1)^{3} - i^{3}) =

= 1 + \sum_{i = 1}^{n} (3 i^{2} + 3 i + 1)) = 1 + 3 \sum_{i = 1}^{n} (i^{2} + i) + \sum_{i = 1}^{n} 1 = 1 + n + 3 \sum_{i = 1}^{n} i (i + 1)

,

woraus wir

\sum_{i = 1}^{n} i (i + 1) = \frac{(n + 1)^{3} - n - 1}{3} = \frac{n^{3} + 3 n^{2} + 2 n}{3}

haben.

Und Induktion überlasse ich Dir, obwohl sie eigentlich unnötig ist, denn diese Herleitung ist auch Beweis.

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12:46 Uhr, 01.11.2014

Danke für die Lösung, sehr nett von dir:-)

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