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Wie geht der Beweis zur Markov-Eigenschaft?

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Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Markov, Markov Eigenschaft, Markov-Kette, Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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15:41 Uhr, 31.05.2015

Hallo liebe Mathe-Community,

ich muss nächste Woche einen Vortrag über die Markov-Ketten halten (Thema: Markov-Eigenschaft). Als Grundlage dafür steht mir das Buch "Stochastik - Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie und Statistik" (4.Auflage) von Hans-Otto Georgii zur Verfügung (Mein Part: Seite

153

bis

156)

. Auf Seite

156

steht der SATZ der "Markov-Eigenschaft":

Ist

{(X_{n})}_{n \geq 0}

eine Markov-Kette zu

\prod

(Übergangsmatrix) und

α

(Startverteilung), so gilt für alle

n \geq 0, A

element aus "Produkt-sigma-Algebra" (im Buch als "kalligraphisch F" geschrieben),

B \subset E^{n},

und

x \in E

(Zustandsraum)

P^{α} ((X_{n}, X_{n + 1}, ...) \in A | (X_{0}, ..., X_{n - 1}) \in B, X_{n} = x) = P^{x} (A),

sofern

P^{α} ((X_{0}, ..., X_{n - 1}) \in B, X_{n} = x) > 0

.

Was dieser Satz grob aussagt ist mir klar: Man betrachtet hierbei die gesamte Zukunft nach der Zeit

n

(aktueller "Zeitpunkt"). Bei bekanntem gegenwärtigen Zustand "vergisst" die Markov-Kette die Vergangenheit und die Zeit startet wie "neugeboren" (es handelt sich also hierbei um eine Verschärfung der Definition einer "Markov-Kette" wo die Markov-Eigenschaft ja auch schon drinsteckt).
Was mir hier Probleme macht ist der Beweis, den ich euch auch gerne aus dem Buch darlegen möchte:

P^{α} ((X_{0}, ..., X_{n - 1}) \in B, X_{n} = x, X_{n + i} = x_{i}

für

0 \leq i \leq k)

= \sum_{(y_{0}, ..., y_{n - 1}) \in B} α (y_{0}) \prod (y_{0}, y_{1}) ... \prod (y_{n - 1}, x) δ_{x, x_{0}} \prod (x_{0}, x_{1}) ... \prod (x_{k - 1}, x_{k})

= P^{α} ((X_{0}, ..., X_{n - 1}) \in B, X_{n} = x) P^{x} (X_{i} = x_{i}

für

0 \leq i \leq k)

.

Daraus folgt die Behauptung für

A = {X_{i} = x_{i}

für

0 \leq i \leq k}

. Der allgemeine Fall ergibt sich aus dem Eindeutigkeitssatz

(1.12),

da die Mengen A dieser speziellen Form (zusammen mit der leeren Menge) einen

⋂

-stabilen Erzeuger von "kalligraphisch F" bilden.

q . e . d

.

Kann mir jm. den Beweis im Einzelnen erläutern? Was wird hier genau aufsummiert und warum folgt daraus die Behauptung für A?

Viele Grüße,
Tobias

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