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Wie multipliziere ich den Betrag |x-1| mit 3 ?

Schüler Gymnasium, 7. Klassenstufe

Tags: Betrag, multiplizieren

xymal3 aktiv_icon

21:38 Uhr, 29.09.2016

Hallo.
Ich wollte fragen, ob jemand mir erklären könnte, wie man einen Betrag multipliziert.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

willyengland aktiv_icon

21:43 Uhr, 29.09.2016

Als wenn die Betragsstriche Klammern wären.

xymal3 aktiv_icon

21:44 Uhr, 29.09.2016

Also ich kann einfach statdessen schreiben 3x-3
??

rundblick aktiv_icon

21:57 Uhr, 29.09.2016

.
Wie multipliziere ich den Betrag

| x - 1 |

mit 3 ?

"Also ich kann einfach statdessen schreiben

3 x - 3

??"

\to

NEIN .. das wäre nur richtig für alle

x \geq 1

also: die Betragsstriche darfst du nicht einfach weglassen :
richtig ist

\to

3 \cdot | x - 1 | = | 3 x - 3 |

ok?

xymal3 aktiv_icon

22:10 Uhr, 29.09.2016

Also wenn ich diesen Term hier habe...
a*|x-1|+(a-1)*|x+2|
...kann ich den zu dem hier umformen.:
|ax-a|+|(ax-x)+(2a-2)|

rundblick aktiv_icon

22:36 Uhr, 29.09.2016

a \cdot | x - 1 | + (a - 1) \cdot | x + 2 |

...kann ich den zu dem hier umformen.:
|ax-a|+|(ax-x)+(2a-2)|

NEIN - denn du weisst ja nicht, welche Vorzeichen die Parameter a bzw.

(a - 1)

haben

.

xymal3 aktiv_icon

13:44 Uhr, 30.09.2016

Kann ich dasnicht irgenwie anders zusammenfassen oder so??
Weil ich muss den Wert x bei dieser Gleichung ausrechnen:
a*|x-1|+(a-1)*|x+2|=2

a darf jede reele Zahl sein.

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14:10 Uhr, 30.09.2016

Das Stichwort hier lautet: Fallunterscheidung

Du musst unterscheiden,wo der Betrag größer oder gleich Null ist und wo er kleiner Null ist.

3 \cdot | x - 1 | = 3 \cdot (x - 1)

für

x \geq 1

bzw.

3 \cdot (- 1) (x - 1)

für

x < 1

rundblick aktiv_icon

22:13 Uhr, 30.09.2016

.
" Weil ich muss den Wert

x

bei dieser Gleichung ausrechnen:

a \cdot | x - 1 | + (a - 1) \cdot | x + 2 | = 2

a darf jede reelle Zahl sein."

interessant-
hat man dir gesagt, dass das eine ganz schön anspruchsvolle Aufgabe ist?

ich mache für dich schon mal einen Anfang:

\to

wenn Beträge im Spiel sind, dann kommst du um Fallunterscheidungen nicht herum
.. also bei deinem Beispiel wirst du drei Fälle untersuchen:

I)

\to x > 1

..(dann sind beide Terme zwischen den

| . . |

positiv )

II)

\to - 2 \leq x \leq 1 . . (

dann ist

x - 1

negativ und

x + 2

positiv )

III)

\to x < - 2

..(dann sind beide Terme zwischen den

| . . |

negativ )

a \cdot | x - 1 | + (a - 1) \cdot | x + 2 | = 2

ich mach als Muster für dich mal mit dem Fall II) weiter :

- 2 \leq x \leq 1 \to

du hast in diesem Fall also

| x - 1 | = - x + 1 .

. und

| x + 2 | = x + 2 . . \Rightarrow

a \cdot (- x + 1) + (a - 1) \cdot (x + 2) = 2 ...

. ausmultiplizieren

\to

- a x + a + a x + 2 a - x - 2 = 2 . .

. zusammenfassen, ordnen

\to

3 a - 4 = x

damit hast du also scheinbar für diesen Fall

\to x (

abhängig von

a)

gefunden..

ABER : dieses Ergebnis gilt NICHT für alle reellen Werte von

a .

.
sondern nur für jene

a \in R

für die dann dieses

x

eben zwischen

- 2

und

+ 1

sein wird

also musst du nun noch untersuchen für welche

a \to

wird für

3 a - 4

gelten:

- 2 \leq 3 a - 4 \leq 1

du wirst herausfinden, dass das nur für alle jene

a \in R

gilt, mit

a \in [\frac{2}{3}; \frac{5}{3}]

Ergebnis für den Fall II ist also:
die Betragsgleichung

a \cdot | x - 1 | + (a - 1) \cdot | x + 2 | = 2

hat für

- 2 \leq x \leq 1

die Lösung

x = 3 a - 4 \to

wenn

\frac{2}{3} \leq a \leq \frac{5}{3}

(für alle anderen Werte von a hat es keine Lösung im Fall II)

so
nun versuche , die beiden anderen Fälle zu untersuchen

\to . .

. .

.

kleine Ergänzung:
ganz am Schluss solltest du noch notieren, für welche Werte von

a \in R

deine Betragsgleichung garantiert KEINE Lösung haben wird ..
(also

:

in KEINEM der drei oben genannten Fälle wird es für DIESE

\to a \in

?
ein

x

geben, das die gegebene Betragsgleichung erfüllt)

.

xymal3 aktiv_icon

20:22 Uhr, 01.10.2016

Vielen Dank!! Ich glaub den Rest schaff ich alleine. Jetzt hab ich auch verstanden, was Fallunterscheidungen sind!

rundblick aktiv_icon

20:26 Uhr, 01.10.2016

.

prima !

aber schreib doch deine Antwort/Lösung für den Rest der Aufgabe dann noch hier rein..

ok?
.

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