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Wie soll ich die Halbwertszeit berechnen?

Schüler Realschule, 10. Klassenstufe

Tags: Exponent, Formel, Halbwertszeit, verdopplungszeit

 
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msecure

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16:32 Uhr, 25.04.2010

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Hallo liebes onlinemathe Forum!

Ich bin auf der Realschule, 10. Klasse und habe das Thema "Wachstumsprozesse", worüber ich bald eine Klausur schreibe. Leider verstehe ich das alles nicht ganz.

Ich habe ein paar Aufgaben hier, vielleicht kann sich die ja mal einer ansehen. Das Thema gehört generell zum Stoff der Oberstufe, aber ich bin da noch nicht ganz so weit auf meiner Schule.

Generell haben wir die Formel:

Kn =K0qn

(wobei Kn die Ausgangsmenge ist, K0 die Startmenge, q der Wert, entweder 0,5 bei Abnahme- oder 2 bei Zunahmeprozessen und der Exponent q in der Regel der Zeitfaktor geteilt durch die Halbwerts- oder Generationszeit ist)

Vielleicht könnt ihr mir bei den folgenden Aufgaben helfen:

1. Strontium-90 hat eine Halbwertszeit von 28,8 Jahren. Bestimme die jährliche prozentuale Abnahme.

2. Eine Algenkultur vermehrt sich wöchentlich um 15%. Wann hat sie die doppelte Größe erreicht?

3. Ein Ball soll nach dem Aufprall mindestens 90% seiner vorherigen Fallhöhe zurückspringen. Man lässt den Ball aus 1,50m Höhe fallen.
a) Wie oft ist er auf den Boden aufgesprungen, bis er zum ersten Mal weniger als 20cm hoch springt?
b) Wie viele Meter ist der Ball beim zehnten Auftreten geflogen?


Und als letztes zwei Aufgaben im Bereich Zinsrechnung (auch Wachstumsprozess u.ä.), die mich ebenfalls etwas verwirren:

4. Die Sparkasse bietet einen Zinssatz von 3,5% bei Festanlage von fünf Jahren. Welchen Betrag muss Laura einzahlen, wenn sie nach 5 Jahren 1.000€ ausbezahlt bekommen möchte?

5. Klaus legt 2007 ein Kapital von 1.500€ zu 5,5% an. Wann ist daraus ein Kapital von 2850€ geworden? In welchem Jahr hätte er bereits dieses Kapital, wenn er 7,5% Zinsen erhielte.


Das sind KEINE Hausaufgaben, es sind frewillige Übungen, mit denen ich nicht ganz zurecht komme. Ich währe euch SEHR dankbar, wenn ihr mir zumindest bei einem Teil der Aufgaben weiterhelfen könntet.

Viele liebe Grüße und Danke im vorraus,
msecure

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Die Lösungen von manchen der Aufgaben habe ich, ich liste sie hier auf. Wichtig ist mir, wie man zu den Lösungen kommt, also der Lösungweg, denn die Lösung allein hilft mir nicht viel.

1. 2,4%

2. in der 5. Woche

3. keine Angabe

4. 842€

5. nach 12 Jahren; nach 9 Jahren

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentielles Wachstum (Mathematischer Grundbegriff)
Mitternachtsformel
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Chaosmaus

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17:04 Uhr, 25.04.2010

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Hallo,

erst mal zur 4, denn das ist die einfachste Aufgabe...


Der Ansatz muss lauten:
K0 * 1,035^5 = 1000 €
K0 = 1000 € / 1,035^5


Bei der 5 ist es etwas schwieriger, denn da musst du n ausrechnen:


1500 € * 1,055^n = 2850 €
1,055^n =1,9

n = log(1,055)1,9 (soll heißen log 1,9 auf der Basis 1,055) = 11,99 (also 12 Jahre)

Genauso natürlich für den höheren Zinssatz von 7,5%

Zur 1:


K0 * q^28,8 =0,5 K0
q^28,8 = 0,5
q = 0,976

Und da ja q entweder 1 + p (bei Zunahme) bzw. 1 – p (bei Abnahme) ist, ist dann p = 0,024, also 2,4%


Die 2 geht wie bei der 5, probier's mal alleine...


Zur 3: Die Fragestellung ist falsch, denn wenn der Ball MINDESTENS 90% der Fallhöhe wieder hochspringt, kannst du eigentlich nicht sagen, nach wie vielen Malen er unter 20cm ist, denn er könnte ja auch jedes Mal 91% oder 95% der Fallhöhe erreicht haben! Gehen wir mal von exakt 90% aus:


Die b) ist leicht: 1,5m * 0,9^10 = …

Außer es ist gemeint, wie viele m der Ball insgesamt zurückgelegt hat, dann musst du die Summe bilden


Bei a) musst du wieder dein n ausrechnen, also:
1,5m * 0,9^n = 0,2m

0,9^n = 0,2/1,5 (nicht runden, so im Taschenrechner lassen und gleich den Logarithmus berechnen, wie bei 2 und 5…)

Das Ergebnis auf die nächsthöhere Zahl aufrunden (da der korrekte Ansatz natürlich wäre 1,5m * 0,9^n < 0,2m, damit kannst du aber nicht rechnen)


LG Chaosmaus

msecure

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17:07 Uhr, 26.04.2010

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Vielen Dank, mit deiner Erklärung konnte ich mir zumindest die letzten beiden Aufgaben ganz einfach erschließen.

Bei Aufg. 1 wüsste ich gern, wie du nach q aufgelöst hast:

K0q28,8=0,5K0

und dann q=0,976... wie hast du aufgelöst, um da q rauszuhaben? Und wie kommst du dann von q auf p=2,4%?

Bei Aug. 2: Eine Algenkultur vermehrt sich wöchentlich um 12%, wann hat sie die doppelte Größe erreicht, kann ich mir nicht ganz erklären, wie ich vorgehen soll mit nur 2 Angaben. Vielleicht so...?:

K01,012n=2K0
1,012n=2

Damit kann ich wohl kein ln ausrechnen. Sucht man doch nicht n? Bitte hilf mir.

Antwort
Chaosmaus

Chaosmaus aktiv_icon

18:46 Uhr, 26.04.2010

Antworten
Hallo,

zu 1:

K0 * q^28,8 = 0,5*K0, also q^28,8 = 0,5. Du kennst das Ergebnis und den Exponenten, also ziehst du die entsprechende Wurzel (die "28,8." Wurzel). Und 0,976 entspricht bei einer Abnahme eben 1-p, also muss p = 0,024 sein, also 2,4 Hundertstel = 2,4%


Zu 2:

Sind es nun 12% oder 15%? Mit 15% stimmt nämlich deine Lösungsvorgabe.

K0 * 1,15^n = 2K0
1,15^n = 2

Hier kennst du nun die Basis und das Ergebnis, aber nicht den Exponenten, also musst du den Logarithmus verwenden: n ist der Logarithmus von 2 zur Basis 1,15 (also wie oft musst ich 1,15 mit sich selber malnehmen, um 2 zu bekommen). Wenn du das nicht so in den Taschenrechner eingeben kannst (geht nicht bei allen), rechnest du log 2 / log 1,15 oder ln2 / ln 1,15 = ca. 4,959. Wir steuern also aufs Ende der 5. Woche zu. Bei einem wöchentlichen Wachstum von 12% wären wir übrigens in der 7. Woche (6,11...)


LG Chaomaus
msecure

msecure aktiv_icon

22:01 Uhr, 26.04.2010

Antworten
Vielen herzlichen Dank, nur eine letzte Frage erübrigt sich noch. Da ich erst in der 10. Klasse bin, machen wir das noch nicht so komplex, statt der Taste LOG benutzten wir z.B. immer LN.

Ich hab alles soweit verstanden, die 28,8-Wurzel war ein kleines Blackout, doch habe ich noch nie von 1-p gehört. Du sagtest ja: "0,976 entspricht bei einer Abnahme eben 1-p, also muss p=0,024 sein, also 2,4 Hundertstel = 2,4%" - Was ist denn 1-p? Google erklärt mir nix.
Antwort
Chaosmaus

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11:14 Uhr, 27.04.2010

Antworten
Hallo,

normalerweise bezeichnet p den Prozentsatz, q den Wachstumsfaktor.



Wenn du also 100 € mit 4% p.a. verzinst, ist p = 4%, du bekommst also nach einem Jahr 100 € * 0,04 = 4€ Zinsen.



Wenn du wissen willst, wieviel Geld du insgesamt am Ende des Jahres hast (also Kapital PLUS Zinsen), nimmst du den Wachstumsfaktor q = 1+p = 1+0,04 = 1,04.


Du hast also nach einem Jahr 100 € * 1,04 = 104 €


Bei einem negativen Wachstum rechnest du entsprechend 1-p. Beispiel:


Der Preis eines Konsumgutes sinkt jedes Jahr um 10% (z.B. weil mehr und günstiger produziert werden kann, oder weil Konkurrenz auf den Markt kommt).


Der Anfangspreis ist 100 €, p = 10% = 0,1

Der Preis ist also nach einem Jahr um 100 € * p = 100 € * 0,1 = 10 € gesunken.



Dein "Wachstumsfaktor" ist hier aber 1-p, da es sich um ein negatives Wachstum, also eine Abnahme handelt. q = 1-0,1 = 0,9

Wenn du also wissen willst, was das Produkt nach einem Jahr kostet, rechnest du 100 € * q = 100 € * 0,9 = 90 €. Nach zwei Jahren wäre es dann 100 € * 0,9 * 0,9 bzw. 100 € * 0,9^2 = 81 €.



In deiner Aufgabe ist 1-p = 0,976, also muss p = 0,024 sein, das entspricht 2,4%


Ich hoffe, ich konnte es einigermaßen verständlich erklären ???


Liebe Grüße
Chaosmaus


Frage beantwortet
msecure

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21:28 Uhr, 27.04.2010

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Herzlichen Dank, nun ist mir einiges klarer geworden! :-)

Die Aufgabe 1 werde ich morgen mit meinem Mathelehrer besprechen können und dann am Donnerstag fit in die Prüfung zu gehen...

Ich hoffe mal die wird nicht ganz so schwer - die Aufgaben sind wirklich nicht ganz leicht. Aber ich denke, die wird nicht allzu schlecht ausfallen, obwohl ich nicht sonderlich gut bin in Mathe ;-)

Man findet nicht allzu häufig hilfsbereite Menschen online, aber es scheint sie noch zu geben. Bleib weiterhin bei onlinemathe, du bist wirklich eine Bereicherung!

Liebe Grüße
ms
 
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