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Wurf mit 4 Würfeln - 3 gleiche Augenzahlen

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Stochastik, Würfel

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14:06 Uhr, 03.11.2010

Hallo Leute, habe folgende Aufgabe:

"Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, bei einem Wurf mit 4 Würfeln 3 gleiche Augenzahlen zu erreichen?"

Habe da 2 Lösungswese, die mir plausibel erscheinen, aber leider 2 verschiedene Lösungen:

Es gibt 4 Möglichkeiten für 3 gleiche Augenzahlen (bei mir durch ein

X

markiert):
XXXO=

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot 6 = \frac{5}{216}

XXOX=

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{5}{216}

XOXX=

\frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{5}{216}

OXXX=

\frac{5}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot 6 = \frac{5}{216}

Damit hab ich also gesagt, um bei 3 Würfen die gleiche Zahl zu bekommen ist die Wahrscheinlichkeit

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6}

und damit ich beim letzten keine 6 bekomme ist das Wahrscheinlichkeit

\frac{5}{6}

und das ganze mal

6,

weil es 6 Zahlen gibt, mit denen ich 3 gleiche bekommen könnte, wenn ich das dann alles mit 4 multipliziere komme ich auf eine Gesamtwahrscheinlichkeit von

\frac{20}{216} = \frac{5}{54} (4 \cdot \frac{5}{216})

.

Nun der andere Weq:

Beim ersten Wurf hab ich 6 Möglichkeiten, die anderen beiden Würfe haben dann nur noch eine, weil sie durch denen ersten Wurfel festgelegt sind. Der letzte Wurf hat dann nur noch

5,

weil er nicht gleich sein darf wie der erste. Das ganze geht wieder mit 6 zahlen, also:

6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 6

Die gesamten Möglichkeiten sind

6^{4},

also ist die Wahrscheinlichkeit:

\frac{6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5 \cdot 6}{6^{4}} = \frac{5}{36}

Jetzt meine Frage. Welcher Ansatz ist richtig?

Hoffe ihr könnt mir auf die Sprüngen helfen

⋀ ⋀

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Flächenmessung
Raummessung
Volumen und Oberfläche eines Prismas

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

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19:46 Uhr, 03.11.2010

Kann mir denn da echt niemand helfen?

nieaufgeber aktiv_icon

20:06 Uhr, 03.11.2010

beide Lösungswege sind nicht richtig!

günstig:

6.1.1.5

(Reihenfolge nicht wichtig!)

möglich=6^4

also

\frac{30}{6^{4}}

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20:20 Uhr, 03.11.2010

Wieso

6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 6,

beim letzten hab ich doch nur noch

5,

weil es ja nicht 4 gleiche sein dürfen.

nieaufgeber aktiv_icon

20:24 Uhr, 03.11.2010

richtig! ..Edit

piquadrat aktiv_icon

20:28 Uhr, 03.11.2010

Hey

Ich denke es ist eine Frage des Wurfs.

Wenn man einen Würfel würfelt und beispielsweise die 1 ist. Könnte die Aufgabe lauten:
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mit 3 Würfeln zweimal die 1 und einmal eine andere Zahl auftreten?

\frac{1}{6} \cdot \frac{1}{6} \cdot \frac{5}{6} = \frac{5}{216} = \frac{30}{6^{4}}

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20:33 Uhr, 03.11.2010

Also, ich hättes es mir so gedacht, dass ich sage, wie von nieaufgeber aufwähnt:

\frac{6 \cdot 1 \cdot 1 \cdot 5}{6^{4}}

aber noch mal

4,

weil es 4 Möglichkeiten, warum dann nicht mal 4?

nieaufgeber aktiv_icon

20:42 Uhr, 03.11.2010

Reihenfolge nicht wichtig!)

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20:47 Uhr, 03.11.2010

Aber dann, ist die Chance doch kleiner, als wenn man alle Möglichkeiten berücksichtigt oder nicht?

nieaufgeber aktiv_icon

20:54 Uhr, 03.11.2010

nicht! stell dir einen Baumdiagramm vor , so kannst du es villeicht besser nachvollziehen.

Bummerang

20:58 Uhr, 03.11.2010

Hallo,

wie wäre es mit folgendem relativ einfachen Ansatz:

Es gibt 6 Möglichkeiten eine Zahl von 1 bis 6 auszuwählen, die dann 3-fach im Ergebnis vorkommt.

Es gibt 5 Möglichkeiten, eine andere Zahl von 1 bis 6 auszuwählen, die dann einfach im Ergebnis vorkommt.

Es gibt 4 Möglichkeiten, die 4 Zahlen

(3

gleiche und eine andere) anzuordnen.

\Rightarrow 6 \cdot 5 \cdot 4 = 120

Möglichkeiten von

6^{4}

Möglichkeiten

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18:26 Uhr, 04.11.2010

Ja, gut, jetzt hab ich aber 2 Möglichkeiten, die ihr beide da vorschlagt, welche ist nun richtig?

Bummerang

19:51 Uhr, 04.11.2010

Hallo,

probiere es doch mal aus, schreibe alle Möglichkeiten mit drei Einsen auf, das sind

20

Stück

(5

andere Zahlen an 4 verschiedenen Stellen eingeordnet). Wenn Du nicht auf

20

kommst, suche weiter, wenn Du auf über

20

kommst, hast Du entweder Möglichkeiten doppelt oder welche ohne 3 Einsen dabei. Das was mit der 1 klappt, klappt mit allen anderen Zahlen auch. Also stimmt auf alle Fälle das Ergebnis

120

. Wenn Dir mein Weg nicht gefällt, dann suche einen anderen. Kommst Du damit nicht auf die

120,

dann ist der Weg falsch!

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22:24 Uhr, 04.11.2010

Stimmt, du hast absolut recht, habe mir mal alles aufgeschrieben:

1112

1113

1114

1115

1116

Das ganze kann ich noch mit

222 x - 666 x

machen, das heißt ich hab

30

Möglichkeiten und da ich 4 Möglichkeiten zum Anordnen habe, sind es

30 \cdot 4 = 120

.

Hab geschnallt, danke

⋀ ⋀

nieaufgeber aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.11.2010

..richtig

Bummerang

22:51 Uhr, 04.11.2010

Hallo nieaufgeber,

ich denke, dass man hier ähnlich vorgehen muss, wie bei dem bekannten Würfelparadoxon (siehe Seiten 6 bis

8) :

"http://www.mathematik.uni-leipzig.de/~koenig/www/Paradoxa.pdf"

EDIT: Leider wird der Link hier nicht korrekt dargestellt, ich muss ihn deshalb in Anführungszeichen setzen.

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