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Zeichenkonstellationen in Lösungsmenge

Schüler

Tags: Lösungsmenge angeben

Dunkler

11:59 Uhr, 28.07.2014

Guten Tag,
hätte jemand eine Übersicht,
über all die möglichen Zeichenkonstellationen die in Lösungsmengen verwendet werden?
Insbesondere die Mathematischen Schreibweisen.

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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12:27 Uhr, 28.07.2014

Folgende fallen mir spontan ein:

Beispiele:

a) L = [- 5; 5]

:Intervall mit den Grenzen

b) L =] - 5; 5 [= (- 5; 5)

:Intervall ohne die Grenzen

c) L = {x \in R | - 5 < x < 5} :

entspricht

b)

d)Falls es nicht um komplette Intervalle, sondern um bestimmte, einzelne Zahlenwerte geht:

L = {- 5; - 4; - 3 ... 4; 5}

(Grundmenge sei hier

ℤ)

Bummerang

17:41 Uhr, 28.07.2014

Hallo,

aber auch solche Lösungsmengen sind möglich:

L = ℝ \ {1}

L = ℝ \ [- 5 : 5) = (- \infty; - 5) \cup [5; + \infty)

L = ℝ \ ([- 5; - 3) \cup (3; 5])

L = ℝ \ ((- 5; 5) \ {0}) = (ℝ \ (- 5; 5)) \cup {0}

L = ℤ \cap [- 5; 5] = {- 5; - 4; - 3; - 2; - 1; 0; 1; 2; 3; 4; 5} = {- 5; - 4; . .

; 4; 5}

Dunkler

12:28 Uhr, 29.07.2014

Guten Tag,
bei der Bedeutung der einzelnen Zeichen bin ich mir leider auch nicht ganz sicher.
Könntest Du bitte noch die Bedeutung dazuschreiben?

(Das letzte Mal hatte ich das in der Realschule angekratzt, und die ist bei mir nun auch schon 5 Jahre her.
Auch im BKFH habe ich das nur angekratzt.)

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

anonymous

14:05 Uhr, 29.07.2014

Dann fangen wir halt von vorne an. Lösungsmengen sind, wie es der nahme schon andeutet Mengen. (Und zwar einfach die Mengen deren Elemente

z

. B. eine Gleichung oder Ungleichung "lösen".)
Daher sind die Zeichen genau die, welche zur Beschreibung von Mengen verwendet werden, so dass im Folgenden eigentlich nur Mengen (statt speziell Lösungsmengen) behandelt werden, um die Bedeutung der verschiedenen Zeichen zu klären.

Eine Menge ist im Grunde ein Zusammenfassung mehrerer Elemente. Sind nur wenige Elemente in einer Menge so kann man die Menge darstellen, indem man die Elemente zwischen geschweiften Klamern

{

und } aufzählt. Die geschweiften Klammern nennt man in diesem Zusammenhang auch oft Mengenklammern genannt.

So bezeichnet beispielsweise

{1, c, +}

die Menge, welche die drei Elemente

1, c

und

+

enthält.

Bei einer Menge mit vielen Elementen, werden oft auch Elemente weggelassen und dafür ein "

...

" eingefügt, wenn klar ist, was für Elemente ausgelassen wurden. So bezeichnet

{..., - 3, - 2, - 1, 0, 1, 2, 3, ...}

die Menge der ganzen Zahlen.

Damit wären die ersten und wichtigsten Symbole die geschweiften Klammern:

{...}

bezeichnet eine Menge, deren Elemente durch

...

beschrieben werden.

Spezielle häufig verwendete Mengen haben eigene Symbole erhalten. So wird beispielsweise die Menge der ganzen Zahlen mit

ℤ

und die Menge der reellen Zahlen mit

ℝ

bezeichnet.
Die leere Menge

{},

welche keine Elemente enthält, wird oft mit

\emptyset

bezeichnet.

Da man oft Mengen hat, bei denen man nicht alle Elemente einfach aufzählen möchte oder dies nicht einmal kann, gibt es weitere Schreibweisen:
Sei

M

eine Menge und

A (x)

eine Aussage(-funktion) deren Wahrheitgehalt von einer Variablen

x

abhängen kann. Dann bezeichnet

{x \in M | A (x)}

die Menge, welche alle Elemente

x

aus der Menge

M

enthält, so dass

A (x)

wahr ist.
So bezeichnet beispielsweise

{x \in ℤ | x > 5}

die Menge, die alle ganzen Zahlen, welche größer als 5 sind, enthält:

{x \in ℤ | x > 5} = {6, 7, 8, 9, ...}

Beispielsweise ist für

4 \in ℤ

die Aussage

4 > 5

falsch, weshalb die 4 nicht enthalten ist. Dagegen ist für

7 \in ℤ

die Aussage

8 > 5

richtig, weshalb die 8 enthalten ist.

Statt dem | wird manchmal auch ein : verwendet, so dass also:

{x \in M | A (x)} = {x \in M : A (x)}

Dann gibt es noch Intervalle, welche einfach nur spezielle Teilmengen von reellen Zahlen

ℝ

sind.

[- 5, 3]

bezeichnet zum Beispiel das geschlossenene Intervall im Bereich von

- 5

bis 3. Das heißt,

[- 5, 3]

bezeichnet die Menge aller rellen Zahlen die größer oder gleich

- 5

und kleiner oder gleich 3 sind:

[- 5, 3] = {x \in ℝ | - 5 \leq x \leq 3}

Neben den geschlossenen Intervallen bei denen die eckigen Klammern zum Inhalt gerichtet sind, gibt es auch noch offene und halboffene Intervalle, bei denen eckige Klammern nach außen gedreht oder durch runde Klammern ersetzt werden, um anzudeuten, dass die Grenze selbst nicht in der Menge enthalten ist. Demnach ist:

[a, b] = {x \in ℝ | a \leq x \leq b}

[a, b [= [a, b) = {x \in ℝ | a \leq x < b}

] a, b] = (a, b] = {x \in ℝ | a < x \leq b}

] a, b [=] a, b [= {x \in ℝ | a < x < b}

Des Weiteren kann man auch aus vorhandenen Mengen neue basteln.

Vereinigungsmenge

A \cup B

zweier Mengen A und

B :

In der Vereinigung zweier Mengen, liegen alle Elemente, welche in zumindest einer der beiden Mengen liegen:

A \cup B = {x | x \in A o d e r x \in B}

Beispiel:

{1, 2, 3, 4} \cup {2, 4, 6, 8} = {1, 2, 3, 4, 6, 8}

Schnittmenge

A \cup B

zweier Mengen A und

B :

In der Schnittmenge zweier Mengen, liegen alle Elemente, welche in beiden Mengen liegen:

A \cap B = {x | x \in A u n d x \in B}

Beispiel:

{1, 2, 3, 4} \cap {2, 4, 6, 8} = {2, 4}

Differenzmenge

A \ B

zweier Mengen A und

B :

In der Differenzmenge

A \ B

zweier Mengen liegen alle Elemente aus einer Menge

A,

die nicht in

B

liegen:

A \ B = {x \in A | x \notin B}

Beispiel:

{1, 2, 3, 4} \ {2, 4, 6, 8} = {1, 3}

Weitere wichtige Symbole im Zusammenhang mit Mengen:
"

\in

x \in A

bedeutet, dass

x

ein Element von A ist.
"

\subseteq

B \subseteq A

bedeutet, dass

B

eine Teilmenge von A ist, also alle Elemente von

B

auch Elemente von A sind.

Damit sind dann, denke ich, die wichtigsten Zeichen erklärt.

Dunkler

11:47 Uhr, 01.08.2014

Guten Tag,
vielen Dank für Deine sehr ausführliche Antwort.

Nur um noch sicher zu gehen:

B \subseteq A = {x ⌊ x \in A

und

x \in B}

Beispiel:

B \subseteq A = {2, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {2, 3}

Nochmal vielen Dank.

Mit freundlichen Grüßen
Dunkler

anonymous

11:57 Uhr, 01.08.2014

Nein. Die

A \subseteq B

liefert keine Menge, sondern einen Wahrheitwert, ob A eine Teilmenge von

B

ist.

Beispiele:

{2, 3} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5, 6} \Leftrightarrow w a h r

da alle Elemente aus der linken Menge, auch Elemente der rechten Menge sind.

{2, 7} \subseteq {1, 2, 3, 4, 5, 6} \Leftrightarrow f a l s c h

da 7 zwar ein Element der linken Menge ist, aber 7 kein Element der rechten Menge ist.

- -

Du hast das anscheinend mit der Schnittmenge, welche mit

\cap

gekennzeichnet wird, verwechselt:

B \cap A = {x | x \in A

und

x \in B}

{2, 3} \cap {1, 2, 3, 4, 5, 6} = {2, 3}

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