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Zeige Gleichung U*U=En

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Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Matrizenrechnung, Orthonormalbasis, Skalarprodukt, Vektorraum

Miauda

18:03 Uhr, 20.04.2024

Ich komme bei der Aufgabe nicht ganz zurechnet. Mein Ansatz für den Beweis ist hinzugefügt aber ich habe noch Schwierigkeiten es mathematisch kurz auszudrücken und bin mir auch gar nicht sicher ob das so passt und wie dann die Rückrichtung aussehen würde. Würde mich über eine Lösung sehr freuen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

KartoffelKäfer aktiv_icon

05:51 Uhr, 22.04.2024

\Rightarrow :

Sei

f : V \to V

ein unitärer Endomorphismus,

B := (v_{1}, ..., v_{n})

eine

O N B

von

V

und

U := M_{B}^{B} (f) = (u_{k l})

.

Dann gilt

δ_{k l} = < v_{k}, v_{l} > = < f (v_{k}), f (v_{l}) >

= < \sum_{s = 1}^{n} u_{s k} v_{s}, \sum_{t = 1}^{n} u_{t l} v_{t} > = \sum_{s = 1}^{n} \sum_{t = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{t l} < v_{s}, v_{t} >

= \sum_{s = 1}^{n} \sum_{t = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{t l} δ_{s t} = \sum_{s = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{s_{l}} = {(U^{H} U)}_{k l}

für alle

k, l \in {1, ..., n}

.

Also gilt

U^{H} U = 1_{n}

< = :

Sei

f : V \to V

ein Endomorphismus,

B := (v_{1}, ..., v_{n})

eine

O N B

von

V

und

U := M_{B}^{B} (f) = (u_{k l})

mit

U^{H} U = 1_{n}

.

Dann gilt

< f (v_{k}), f (v_{l}) > = < \sum_{s = 1}^{n} u_{s k} v_{s}, \sum_{t = 1}^{n} u_{t l} v_{t} >

= \sum_{s = 1}^{n} \sum_{t = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{t l} < v_{s}, v_{t} > = \sum_{s = 1}^{n} \sum_{t = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{t l} δ_{s t}

= \sum_{s = 1}^{n} \bar{u_{s_{k}}} u_{s_{l}} = {(U^{H} U)}_{k l} = δ_{k l} = < v_{k}, v_{l} >

für alle

k, l \in {1, ..., n}

.

Für

v, w \in V

beliebig mit den eindeutigen Darstellungen

v = \sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k}

mit

a_{1}, ..., a_{n} \in K,

w = \sum_{l = 1}^{n} b_{l} v_{l}

mit

b_{1}, ..., b_{n} \in K

folgt

< f (v), f (w) > = < f (\sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k}), f (\sum_{l = 1}^{n} b_{l} v_{l}) > = < \sum_{k = 1}^{n} a_{k} f (v_{k}), \sum_{l = 1}^{n} b_{l} f (v_{l}) >

= \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} \bar{a_{k}} b_{l} < f (v_{l}), f (v_{k}) > = \sum_{k = 1}^{n} \sum_{l = 1}^{n} \bar{a_{k}} b_{l} < v_{l}, v_{k} >

= < \sum_{k = 1}^{n} a_{k} v_{k}, \sum_{l = 1}^{n} b_{l} v_{l} > = < v, w >

.

Also ist

f

unitär.

Miauda

23:28 Uhr, 22.04.2024

vielen Dank!! War eine enorme Hilfe!!

KartoffelKäfer aktiv_icon

12:25 Uhr, 23.04.2024

Hier noch zum Downloaden.

Übrigens: Die Bearbeitung hat noch kein offizielles TÜV-Siegel

(bin selber nur kleiner Studi).

Und auch ich danke immer, wenn eine weitere (Standard-) Aufgabe

meine Sammlung bereichert...

1584962

1584858

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