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Zusammenhang bei Funktionen erkennen

Schüler Kaufmännische mittlere u. höhere Schulen, 11. Klassenstufe

Tags: erkennen, Funktion, Zusammenhang

 
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desaster137

desaster137 aktiv_icon

14:18 Uhr, 11.01.2017

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Hallo Matheforum,

bin gerade dabei dieses Beispiel zu lösen (siehe Anhang) und habe auch alle Funktionen gezeichnet, doch die Fragestellung "und beschreiben Sie, wie jeweils der Graph der Funktionen g, h, j und k aus dem Graphen der Funktion f hervorgeht.".

Ich kann ja erkennen, wenn z. B. 1/4*x2 dasteht, dass der y-Wert immer um 1/4 kleiner wird.

Oder z. B. dass wenn x2+1 dasteht, dass der kleinste Y-Wert 1 sein muss.

Doch was genau ist genau mit der Fragestellung gemeint?

Ich danke euch jetzt schon für die Antworten.

Mit freundlichen Grüßen
Mario Blazan



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Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Roman-22

Roman-22

14:32 Uhr, 11.01.2017

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> Ich kann ja erkennen, wenn z. B. 1/4∗x2 dasteht, dass der y-Wert immer um 14 kleiner wird.
Du meinst vermutlich das richtige, aber der neue y-Wert IST 14 des alten, d.h. er wurde UM 34 des alten Werts kleiner.
Und was bedeutet das nun geometrisch, denn das ist ja gefragt. Was muss ich mit der Parabel y=x2 machen, damit der Graph von y=14x2 rauskommt? Offenbar oben ordentlich draufhauen, sodass alles nur mehr 14 seiner ursprünglichen Höhe hat. Das nennt man eine Stauchung (kannst du auch als Streckung mit dem Faktor 14 sehen). Würde da 4x2 stehen, dann wäre es eine Streckung (mit den Faktor 4).

Jetzt überleg dir gleich, was nun die Multiplikation der y-Werte mit (-1) geometrisch bedeuten könnte (damit bist du dann schon bei der letzten Aufgabe y=-x2). Wenn du den Graph bereits richtig gezeichnet hast und auch jenen der Ausgnagsfunktion y=x2, sollte dir die Antwort keine großen Schwierigkeit bereiten.

> Oder z. B. dass wenn x2+1 dasteht, dass der kleinste Y-Wert 1 sein muss.
Das stimmt zwar in diesem Beispiel, aber gemeint ist auch hier wieder der geometrische Zusammenhang zwischen den Graphen von y=x2 und y=x2+1. Was musst du mit dem ersten Graphen machen, damit der zweite entsteht?

Es ist bei diesen Aufgaben also jeweils der geometrische Zusammenhang gefragt.


desaster137

desaster137 aktiv_icon

14:43 Uhr, 11.01.2017

Antworten
>: Jetzt überleg dir gleich, was nun die Multiplikation der y-Werte mit (−1) geometrisch bedeuten könnte (damit bist du dann schon bei der letzten Aufgabe y=−x2). Wenn du den Graph bereits richtig gezeichnet hast und auch jenen der Ausgnagsfunktion y=x2, sollte dir die Antwort keine großen Schwierigkeit bereiten.
Ja der Graph wird einfach gespiegelt entlang der x-Achse.

Doch irgendwie versteh ich die Aufgabe nicht ganz. Ich muss ja nur die Werte von der zweiten Funktion nehmen, damit Sie mit der ersten zusammenpasst.. Oder wie ist es gemeint?
desaster137

desaster137 aktiv_icon

15:24 Uhr, 11.01.2017

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Keiner der mir hierbei helfen kann?..
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Roman-22

Roman-22

15:37 Uhr, 11.01.2017

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> Ja der Graph wird einfach gespiegelt entlang der x-Achse.
Richtig! Die Multiplikation von f(x) mit -1 bedeutet geometrisch eine Spiegelung an der x-Achse.

> Doch irgendwie versteh ich die Aufgabe nicht ganz. Ich muss ja nur die Werte von der zweiten Funktion nehmen, damit Sie mit der ersten zusammenpasst.. Oder wie ist es gemeint?

Irgendwie verstehe ich deine Frage nicht. Wie schon geschrieben geht es um geometrische Zusammenhänge. Die Originalkurven können in x- oder y-Richtung gestreckt und gestaucht werden, die können in diese Richtungen verschoben werden und sie können auch noch zusätzlich an x- oder y-Achse gespiegelt werden. Und es geht bei der Aufgabe darum, herauszuarbeiten, welche mathematische Operation welcher geometrischen entspricht. Das, was du da herausfinden sollts, gilt nämlich nicht nur für dein f:y=x2, sondern für beliebige Funktionen. Z.B. auch der Graph von y=sind(x) wird an der x-Achse gespiegelt, wenn ich y=-sin(x) betrachte.

Ausständig sind jetzt noch f(x)+1 und f(x+1).

desaster137

desaster137 aktiv_icon

15:53 Uhr, 11.01.2017

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Also wäre die Antwort, dass z. B. die zweite Funktion bei *1/4 gestaucht wird, bei +1 nach oben versetzt wird, bei (x-1)2 um 1 nach rechts verrückt wird und bei Minus gespiegelt wird oder?
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:00 Uhr, 11.01.2017

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Im Wesentlichen ja, die Formulierungen sind noch verbesserungsfähig. Bei Streckung und Stauchung musst du auf jeden Fall auch die Richtung angeben, bei Spiegelung die Achse. In der Mathematik gibt es auch den Begriff der Schiebung (und da ist keine fragwürdige Schiedsrichterentscheidung gemeint) und demnach würde sich anstelle von "versetzen" oder "verrücken" die Formulierung "verschieben" besser machen.

Ist jetzt kein Beispiel aus deiner Aufgabe, aber wie siehts eigentlich mit f(-x) oder mit f(12x) aus? Was passiert dabei geometrisch?
desaster137

desaster137 aktiv_icon

16:26 Uhr, 11.01.2017

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Hierbei staucht sich die Funktion um die Hälfte. Das müsste so stimmen oder?
Antwort
Roman-22

Roman-22

16:47 Uhr, 11.01.2017

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> Hierbei staucht sich die Funktion um die Hälfte. Das müsste so stimmen oder?
Nö!
Ersten fehlt die Info, welches von meinen beiden Beispielen du meinst - ich vermute f(x2) und außerdem fehlt die Angabe, in welche Achsenrichtung gestaucht wird.
Und drittens wir da nicht gestaucht, sondern um den Faktor 2 gestreckt (und zwar in x-Richtung)! Bei y=x2 ist das zufälligerweise dasselbe wie eine Stauchung mit Faktor 14 in y-Richtung, aber bei anderen Funktion stimmt das keineswegs. Etwa bei einer Sinunsfunktion käme das einer Halbierung der Frequenz und somit eben einer Verdopplung der Periodendauer gleich.
desaster137

desaster137 aktiv_icon

17:03 Uhr, 11.01.2017

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Eine Frage: Wie kann bei f(1/2*x) eine Streckung rauskommen?
Antwort
Roman-22

Roman-22

18:01 Uhr, 11.01.2017

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Naja, beim x ist eben alles anders als man es denkt.


Bei y ist alles so, wie man naiv vermutet:
f(x)+a ist eine Schiebung um +a in y-Richtung
af(x) ist eine Streckung mit dem Faktor a in y-Richtung

Aber bei x ist es anders:

f(x+a) ist eine Schiebung um -a in x-Richtung. So wie du vorhin ja richtig gesagt hast, dass dein f(x-1) eine Schiebung nach rechts bedeutet.

Und f(ax) bedeutet eben eine Streckung um den Faktor 1a (wenn |a|>1 ist wird man das eine Stauchung nennen). Und wenn a<0 ist, dann kommt noch eine Spiegelung an der y-Achse dazu.
Zum Beispiel f(12x). Wenn x=10 ist, erhalten wir bei f(x/2)den Funktionswert an der Stelle 10, den f(x) schon bei x=5 hatte. Unser Graph ist also in x-Richtung gedehnt. Siehe beigefügten Plot.
Ich gehe davon aus, dass ihr das in eurem Lehrbuch genauer und mit schöneren Bildern erklärt bekommt.


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