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Zwischenwertsatz

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Tags: Funktion, Intervall, stetig, Zwischenwertsatz

 
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Wunderblume

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23:03 Uhr, 11.03.2013

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Hallo, ich soll den Zwischenwertsatz vorführen, und habe nun schon so viele unterschiedliche Beweise gelesen und vor allem unterschiedliche Sätze, jetzt wollte ich wissen, ob dieser, den ich jetzt habe, stimmt:

Satz: Sei I ein Intervall udn f:I- stetig. Seien a,bI und y0 zwischen f(a) und f(b). Dann existiert ein x0[a,b] mit f(x0)=y0.

Beweis:
Wir suchen größtes x0[a,b] mit f(x0)=y0. Da f(a)<y0 ist, sei M:={x[a,b]:f(x)y0} und es existiert, da M (durch b) nach oben beschränkt ist: s:=maxM. Da f(s)y0<f(b), ist sb und somit s<b.
Da s=maxM, sind für x(s,b] die Funktionswerte f(x)>y0.
Da f stetig ist, folgt f(s)=limxsf(x)y0.
Also ist f(s)=y0 und mit s=x0 haben wir ein geeignetes x0 gefunden.

Danke für eure Hilfe!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Antwort
Sina86

Sina86

01:49 Uhr, 12.03.2013

Antworten
Hi,

so wie ich das sehe, ist der Beweis richtig. Allerdings solltest du begründen, warum ein Maximum von M existiert, denn aus der Beschränktheit (nach oben) folgt nur die Existenz eines Supremums, aber nicht gezwungenermaßen die Existenz eines Maximums (zeige, dass M kompakt ist!). Und beim limxsf(x) solltest du noch einmal explizit erwähnen, dass es sich um den rechtsseitigen Limes handelt, also x(s,b] ist.

Lieben Gruß
Sina
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