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a so bestimmen, dass die Vek. lin.unab. sind

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Tags: Lineare Unabhängigkeit, Matrizenrechnung

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mathemann13

mathemann13 aktiv_icon

22:55 Uhr, 22.04.2024

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Hallo, ich habe folgendes Problem:
Gegeben sind 3 Vektoren:

(\begin{matrix} 0 \\ 2 \\ 2 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 \\ 2 \\ 0 \end{matrix}), (\begin{matrix} 2 - a \\ a^{2} \\ a \end{matrix})

. Nun sollen alle

a \in ℝ

bestimmt werden, sodass alle 3 Vektoren linear unabhängig sind.

Ich habe erstmal ein Gleichungssystem aufgestellt (Zeilen vertauscht):

I)

2 x_{1} + 2 x_{2} + a^{2} \cdot x_{3} = 0

II)

0 x_{1} + 2 x_{2} + (2 - a) x_{3} = 0

III)

2 x_{1} + 0 x_{2} + a \cdot x_{3} = 0

nach dem Gauß-Algorithmus (letzte Zeile):

0 x_{1} + 0 x_{2} + (2 - a^{2}) x_{3} = 0

nach a aufgelöst:

a = \pm \sqrt{2}

Nun weiß ich aber nicht, ob das so richtig ist (einen Denkfehler habe) bzw. wie ich alle a finden soll.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

Roman-22

00:34 Uhr, 23.04.2024

Antworten

Gratulation! Mit

a = \pm \sqrt{2}

hast du genau die beiden Werte für

a

gefunden, für die die drei Vektoren linear abhängig sind! :-)

Solltest du nicht jene

a

bestimmen, für die drei Vektoren linear UNabhängig sind?.
Das sind dann genau alle anderen.
Wenn wir für

a

die Grundmenge

ℝ

annehmen, so sind dass eben alle

a \in ℝ \ {\pm \sqrt{2}}

Frage beantwortet

mathemann13

mathemann13 aktiv_icon

00:41 Uhr, 23.04.2024

Antworten

Vielen Dank.

mathemann13

mathemann13 aktiv_icon

18:30 Uhr, 23.04.2024

Antworten

Hallo,
ich habe

a = - 2

und

a = 2

eingesetzt und es entsteht nur bei

a = 2

eine Nullzeile, bei

a = - 2

erhalte ich in der letzten Zeile

0 + 0 - 2 = 0,

aber das heißt ja, dass die Vektoren bei

a = - 2

unabhängig sind.
Somit kann

a = \pm \sqrt{2}

nicht die Lösung sein.
Ich brauche nochmal Hilfe.

Antwort

Roman-22

19:10 Uhr, 23.04.2024

Antworten

>

aber das heißt ja, dass die Vektoren bei a=−2 unabhängig sind.
Ja, und?

>

Somit kann

a = \pm \sqrt{2}

nicht die Lösung sein.
Ist sie ja auch nicht - hatte ich ja geschrieben. Die Lösung sind alle anderen Zahlen, nur eben nicht

\pm \sqrt{2}

.

Für alle

a,

die NICHT

\sqrt{2}

oder

- \sqrt{2}

sind, erhalten wir unabhängige Vektoren.
Wie oben schon geschrieben kann das etwa durch

ℝ \ {\pm \sqrt{2}}

ausgedrückt werden oder gern auch durch

{x | x \in ℝ \land x \neq \pm \sqrt{2}}

mathemann13

mathemann13 aktiv_icon

19:14 Uhr, 23.04.2024

Antworten

Sorry, mein Fehler. Ich habe anstatt

- \sqrt{2}, - 2

eingesetzt. Huch.

Antwort

Roman-22

19:42 Uhr, 23.04.2024

Antworten

Dann ist ja alles klar.

Wenn du

a = - \sqrt{2}

in dein Gleichungssystem einsetzt, sieht man ja sofort, dass I = II

+

III gilt und somit Abhängigkeit.

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