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alle natürliche Zahlen mit best. Eigenschaften
Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe
Tags: Bestimmte Eigenschaften, Dezimaldarstellung, Natürliche Zahlen
 
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Hallihallo. Ich habe ein Problem mit einer Aufgabe, die wie folgt lautet:
Man bestimme alle natürlichen Zahlen n mit folgenden Eigenschaften: (1) In der Dezimaldarstellung von n kommt jede der Ziffern 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 genau einmal vor. (2) Für k = 1,2,...,10 ist k ein Teiler der aus den ersten k Ziffern von n gebildeten Zahl.
Zudem habe ich keine Ahnung, wie ich folgende Aufgabe lösen soll:
Man bestimme alle Paare (x;y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem lösen: (1) x² + y² = 2 (2) x^4 + y^4 = 4
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Hallo, die erste Bedingung ist klar, bringt aber nicht viel um damit arbeiten zu können, wir beginnen mit der zweiten. - Die gesamte Zahl muß durch 10 teilbar sein, also steht an letzter Stelle die 0. - Die erste Ziffer ist durch 1 teilbar, das ist immer der Fall! - Die Ziffern 1 bis 2 sind als Zahl durch 2 teilbar, also ist die zweite Ziffer eine gerade Zahl! - Die Ziffern 1 bis 3 sind als Zahl durch 3 teilbar, also ist die Quersumme der ersten 3 Ziffern durch 3 teilbar! - Die Ziffern 1 bis 4 sind als Zahl durch 4 teilbar, also ist die vierte Ziffer eine gerade Zahl und die beiden Ziffern 3 und 4 sind als Zahl durch 4 teilbar! Letzteres heißt, daß die vierte Ziffer entweder 4 bzw. 8 ist (die 0 fällt hier weg, da sie an letzter stelle steht), dann muß die dritte Ziffer gerade sein, oder die vierte Ziffer ist 2 bzw. 6, dann muß die dritte Ziffer ungerade sein! - Die Ziffern 1 bis 5 sind als Zahl durch 5 teilbar, also ist die fünfte Ziffer die Zahl 5, da die 0 bereits an letzter Stelle steht! - Die Ziffern 1 bis 6 sind als Zahl durch 6 teilbar, also ist die sechste Ziffer eine gerade Zahl und die Quersumme der ersten 6 Ziffern ist durch 3 teilbar! Da die Quersumme der ersten 3 Ziffern ebenfalls durch 3 teilbar war folgt auch, daß die Quersumme der Ziffern 4, 5 und 6 durch 3 teilbar sein muß! (hier käme in der Reihenfolge die Regel für die 7, die verschiebe ich mal aus Gründen. - Die Ziffern 1 bis 8 sind als Zahl durch 8 teilbar, also ist die achte Ziffer eine gerade Zahl und die Ziffern 6, 7 und 8 sind als Zahl durch 8 teilbar! Letzteres heißt, daß die siebte und achte Ziffer als Zahl entweder durch 4 teilbar ist, aber nicht durch 8, dann muß die sechste Ziffer ungerade sein, oder sie sind durch 8 teilbar, dann muß die sechste Ziffer gerade sein! - Die Ziffern 1 bis 9 sind durch 9 teilbar, das ist immer der Fall, da diese 9 Ziffern die Zahlen 1 bis 9 sind und die Quersumme 45 ist! Diese bedingung enthält aber auch, daß die Quersumme der ersten 9 Ziffern durch 3 teilbar ist, also ist die Quersumme der Ziffern 7, 8 und 9 (die ersten 6 waren es ja auch) durch 3 teilbar! Was haben wir bis jetzt: Am Ende steht eine 0, an fünfter Stelle die 5 und an den geraden Positionen stehen gerade Zahlen. Damit stehen an den ungeraden Positionen ungerade Zahlen und die Regeln für die 4 und die 8 können schärfer gefaßt werden: - Die Ziffern 1 bis 4 sind als Zahl durch 4 teilbar, also ist die vierte Ziffer eine gerade Zahl und die beiden Ziffern 3 und 4 sind als Zahl durch 4 teilbar! Letzteres heißt, daß die vierte Ziffer 2 bzw. 6! - Die Ziffern 1 bis 8 sind als Zahl durch 8 teilbar, also ist die achte Ziffer eine gerade Zahl und die Ziffern 6, 7 und 8 sind als Zahl durch 8 teilbar! Letzteres heißt, daß die siebte und achte Ziffer als Zahl durch 8 teilbar sind, dann muß die sechste Ziffer gerade sein! Jetzt machen wir daraus mal einen Algorithmus: 1. Ermitteln aller durch 8 teilbaren zweistelligen Zahlen, die nicht auf Null enden und deren erste Ziffer eine ungerade Zahl ungleich 5 ist (Möglichkeiten für siebte und achte Ziffer): _ _ _ _5_16_0, _ _ _ _5_32_0, _ _ _ _5_72_0, _ _ _ _5_96_0 (Es entfielen: 08, 24, 40, 48, 56, 64, 80, 88) 2. Ermitteln aller "passenden" neunten Ziffern ("andere" ungerade Zahl ungleich 5, so daß die Quersumme der Ziffern 7, 8 und 9 durch 3 teilbar ist): _ _ _ _5_3210, _ _ _ _5_3270, _ _ _ _5_7230, _ _ _ _5_7290, _ _ _ _5_9630 (Es entfiel _ _ _ _5_16_0, weil nur die 5 als neunte Ziffer funktionieren würde) 3. Betrachten wir die dazugehörigen Möglichkeiten für die vierte Ziffer (2 oder 6, darf also nicht andersweitig vorhanden gewesen sein): _ _ _65_3210, _ _ _65_3270, _ _ _65_7230, _ _ _65_7290, _ _ _25_9630 4. Ermitteln aller "passenden" sechsten Ziffern ("andere" gerade Zahl, so daß die Quersummer der Ziffern 4, 5 und 6 durch 3 teilbar ist): _ _ _6543210 _ _ _6543270, _ _ _6547230, _ _ _6547290, _ _ _2589630 5. Betrachten wir die dazugehörigen Möglichkeiten für die dritte Ziffer ("andere" ungerade Zahl): _ _765_3210, _ _965_3210, _ _165_3270, _ _965_3270, _ _165_7230, _ _965_7230, _ _165_7290, _ _365_7290, _ _125_9630, _ _725_9630 6. Es bleiben eine ungerade und eine gerade Ziffer übrig, die wir an die erste (ungerade Ziffer) und die zweite Stelle (gerade Ziffer) "verteilen" müssen: 9876543210, 7896543210, 9816543270, 1896543270, 9816547230, 1896547230, 3816547290, 1836547290, 7412589630, 1472589630 7. Jetzt sind alle Bedingungen erfüllt, bis auf eine: Die vorhin verschobene Teilbarkeit der aus den ersten 7 Ziffern gebildeten Zahl durch 7: Einzig 3816547290 erfüllt diese Bedingung! Probe: 3/1 = 3 38/2 = 19 381/3 = 127 3816/4 = 954 38165/5 = 7633 381654/6 = 63609 3816547/7 = 545221 38165472/8 = 4770684 381654729/9 = 42406081 3816547290/10 = 381654729 Jetzt zu der zweiten Aufgabe: Man bestimme alle Paare (x;y) reeller Zahlen, die das folgende Gleichungssystem lösen: (1) x^2 + y^2 = 2 (2) x^4 + y^4 = 4 Der Trick besteht darin, daß man die erste Gleichung quadriert: (x^2 + y^2)^2 = 2^2 x^4 + 2*x^2*y^2 + y^4 = 4 ; auf beiden Seiten die entsprechende Seite der 2. Gleichung abziehen: 2*x^2*y^2 = 0 Das ist immer erfüllt, wenn x^2=0 gdw. x=0 oder y^2=0 gdw. y=0. Alle Lösungspaare enthalten wenigstens eine Null Fall 1: x = 0 --> y^2 = 2 und y^4 = 4 --> y = +- sqrt(2) Fall 2: y = 0 --> x^2 = 2 und x^4 = 4 --> x = +- sqrt(2) Alle Lösungen (x ; y): (sqrt(2) ; 0), (-sqrt(2) ; 0), (0 ; -sqrt(2)), (0 ; sqrt(2)) PS: Ich habe lange überlegt, ob ich Dir die Lösungen geben sollte oder nicht. Ich bin weiß Gott nicht prüde, aber es besteht die Möglichkeit, daß Du mit der Wahl Deines Nicknames dieses Forum, welches auch für jüngere Schülerinnen und Schüler gedacht ist, in rechtliche Schwierigkeiten bringst. Leidtragende sind die, die dann hier keine Hilfe mehr finden! Ich empfehle Dir unbedingt eine Änderung des Nicknames! |
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Vielen Dank für die Antwort! Ich habe zwar dabei, das alles zu verstehen, ewig gebraucht doch ich habe es jetzt geschnallt. Vielen Dank! |
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