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arctan(tan(7/3)pi) Vereinfachen

Universität / Fachhochschule

Tags: arctan, Bogenmaß, tan, Vereinfachen

tubesub aktiv_icon

22:39 Uhr, 27.11.2015

Guten Abend Community!
Ich soll den Term

actan(tan(7/3)pi)

so weit wie möglich vereinfachen (Angabe des Ergebnisses langt für die Lösung aus, jedoch wäre ich für einen Rechenweg dankbar)

Mein Ansatz ist:

tan ((\frac{7}{3}) π) = \sqrt{3}

(Im Bogenmaß)
arctan(

\sqrt{3}) = (\frac{1}{3}) π

(Ebenfalls im Bogenmaß)

Das wäre meine Lösung. Nun bin ich unsicher:
1. Ob ich richtig gerechnet habe

2. Ob das Ergebnis im Bogenmaß angeben darf (bzw. wie ich es dann richtig kennzeichne)

3. Falls ich das Ergebnis nicht im Bogenmaß angeben darf, wie rechne ich es um sodass ein exaktes Ergebnis mit einer anderen "Einheit" herauskommt?

Für eure Hilfe wäre ich sehr dankbar!

Grüße, tubesub

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Elementare Kreisteile (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Kreisteile: Berechnungen am Kreis

anonymous

23:05 Uhr, 27.11.2015

Hallo

0 .)

Die Funktionen tan und arctan sind einander Umkehrfunktionen.
In anderen Worten, wenn du aus einer Zahl den tan und dann wieder den arctan bildest, so kommt wieder die ursprüngliche Zahl raus.
In nochmals anderen Worten: tan(arctan(x)

) = x

1 .)

Ja, du hast richtig gerechnet.

Zumindest hast du eine Lösung gefunden.
Streng genommen hättest du viele Lösungen finden können:
arctan(sqrt(3))=

\frac{π}{3} + n \cdot π

Und unter diesen vielen Lösungen findet sich eben auch

>

die Lösung

\frac{π}{3},

>

die Lösung

\frac{7 \cdot π}{3}

2 .)

In welchen Winkeleinheiten du rechnen willst oder sollst, das können wir nicht wissen.
Das müsste euch der Aufgabensteller erklärt haben.
Wenn ihr keine Vereinbarung getroffen habt, dann ist die Angabe im Bogenmaß zumindest nicht falsch.

zu

3 .)

Es gilt:

π

[

rad]

= 180

[

deg]

= 200

[

gon]

tubesub aktiv_icon

23:12 Uhr, 27.11.2015

Vielen Dank für deine ausführliche Antwort. Wie man mit arctan und tan rechnet habe ich nun recht gut verstanden.

Da wir mit dem Lehrer keinerlei Absprache getroffen haben, was das Ergebnis angeht, werde ich es nun im Bogenmaß angeben (sprich als Antwort

\frac{π}{3}

angeben). Sollte ich noch anmerken, dass das Ergebnis in Rad ist? Damit wäre ich dann auf der sicheren Seite, oder?

Danke für die Übersicht zur Umrechnung!

Grüße, tubesub

anonymous

23:19 Uhr, 27.11.2015

arctan(tan((7*pi)/3))

= \frac{π}{3}

[

rad]

= \frac{π}{3}

Ja, die Angabe der Einheit

[

rad] ist zulässig und dient der Verständlichkeit, der Vermeidung von Missverständnissen und ist meines Erachtens empfehlenswert.
Da streng mathematisch aber gilt:
rad

= 1

ist die Angabe eigentlich nicht nötig.

Anders hingegen wenn du Angaben in Grad (

[

deg]) oder Neugrad ([gon]) machst.
Dann ist die Angabe der Einheit unbedingt obligat, da ja sonst nicht zu ersehen wäre, welsche Winkeleinheit gemeint ist.

tubesub aktiv_icon

23:38 Uhr, 27.11.2015

Das ist einleuchtent. Danke für die Hilfe!

Matlog aktiv_icon

00:51 Uhr, 28.11.2015

@cositan:

"Streng genommen hättest du viele Lösungen finden können:
arctan(sqrt(3))=

\frac{π}{3} + n \cdot π

"

Nein, der Wertebereich der arcustangens-Funktion wurde festgelegt:

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

@tubesub:

Zur Lösung dieser Aufgabe kann man also einfach von

\frac{7}{3} \cdot π

Vielfache der Periode

π

addieren/subtrahieren, bis man dieses Intervall

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

erreicht hat, also ohne dieses

\sqrt{3}

explizit zu berechnen.

Zur Frage, ob das Ergebnis im Bogenmaß angegeben werden darf:
Wenn in der Aufgabenstellung das Bogenmaß benutzt wird, dann wird wohl auch für die Antwort das Bogenmaß erwartet.

tubesub aktiv_icon

01:03 Uhr, 28.11.2015

Also, nur um klarzustellen, dass ich es richtig verstanden habe: der arctan bewegt sich nur im Wertebereich

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

Es muss also gelten:

- \frac{π}{2} < \frac{7}{3} π n < \frac{π}{2}

\sqrt{3}

habe ich nur zur Verständnishilfe für mich berechnet, ich verstehe aber worauf Du hinauswillst.

Dann wäre die Frage um die Einheit wohl eindeutig geklärt, ich werde das Ergebnis in Rad angeben.

Ich nehme an, wenn ich als endgültiges Ergebnis

\frac{7}{3} π

[

Rad] angebe werde ich am besten fahren, oder?

Danke für deine Hilfe, Matlog!

Matlog aktiv_icon

01:11 Uhr, 28.11.2015

Nein, das Ergebnis ist NICHT

\frac{7}{3} \cdot π,

sondern

\frac{π}{3}

(eindeutig)!

\frac{7}{3} \cdot π > \frac{π}{2}

\frac{7}{3} \cdot π - π = \frac{4}{3} \cdot π > \frac{π}{2}

\frac{4}{3} \cdot π - π = \frac{π}{3} < \frac{π}{2}

Also

\frac{π}{3}

passt in das gesuchte Intervall

(- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

tubesub aktiv_icon

01:19 Uhr, 28.11.2015

Oh, darauf, dass

\frac{7}{3} π > \frac{π}{2}

ist, hätte ich auch selbst kommen können. Nun ja, die Uhrzeit fordert hier wohl ihren Tribut.

Du hast natürlich recht, ich bedanke mich für den schlüssigen Rechenweg!

tubesub aktiv_icon

01:19 Uhr, 28.11.2015

Oh, darauf, dass

\frac{7}{3} π > \frac{π}{2}

ist, hätte ich auch selbst kommen können. Nun ja, die Uhrzeit fordert hier wohl ihren Tribut.

Du hast natürlich recht, ich bedanke mich für den schlüssigen Rechenweg!

anonymous

22:56 Uhr, 28.11.2015

Hallo tubesub
Ich hoffe, du lässt dich von der unsinnigen Aussage Matlogs nicht verwirren.
Keine Ahnung, wie er auf die Aussage kommt, "der Wertebereich der arcustangens-Funktion wurde festgelegt:

(- \frac{π}{2};

pi/2)"

Die arctan-Funktion hat viele Lösungen, wie oben beschrieben.
Und du musst dir die Lösung raussuchen, die für dein Problem geeignet ist.

Roman-22

23:24 Uhr, 28.11.2015

>

Die arctan-Funktion hat viele Lösungen, wie oben beschrieben.
Nein! Denn dann wäre es keine Funktion mehr, sondern bloß eine allgemeine Relation!
Ich muss hier Matlog Recht geben.
Wobei, nebenbei gesagt, eine Funktion keine "Lösungen" hat.

>

Ich hoffe, du lässt dich von der unsinnigen Aussage Matlogs nicht verwirren.
Mit Adjektiven wie "unsinnig" sollte man sparsamer und mit mehr Bedacht umgehen.

>

Keine Ahnung, wie er auf die Aussage kommt, "der Wertebereich der arcustangens-Funktion wurde festgelegt: (−pi/2;

\frac{π}{2})

"
Das mag sein, dass du keine Ahnung hast, aber das kann wohl nicht Matlogs Problem sein, oder? Sinnvollerweise solltest du diese deine Wissenslücke besser schließen, anstatt Matlog zu bezichtigen unsinnige Aussagen zu machen.

Für die Funktion y=arctan(x) gilt eben:

y \in (- \frac{π}{2}; \frac{π}{2})

.
Diese Einschränkung wird im Reellen eben per definitionem gemacht, um als Umkehrung eine Funktion zur Verfügung zu haben.
Ähnliche Einschränkungen werden auch für arcsin(x) und arccos(x) getroffen und aus dem gleichen Grund (Eindeutigkeit) ist im Reellen ja auch die Quadratwurzel einer Zahl als positiver Wert per definitionem festgelegt.

Also zur Klarstellung:

Die Gleichung

y = a r c t a n (\sqrt{3})

hat die eindeutige Lösung

y = \frac{π}{3},

aber die Gleichung

tan (y) = \sqrt{3}

hat unendlich viele Lösungen, nämlich

y_{k} = \frac{π}{3} + k \cdot π

mit

k \in ℤ

.

Vergleiche dazu:

y = \sqrt{4} \Rightarrow y = + 2

aber

y^{2} = 4 \Rightarrow y_{1} = - 2, y_{2} = + 2

Somit hat Matlog Recht, der Ausdruck, den der Fragesteller anfangs mit falscher, irritierender Klammersetzung angegeben hatte und hier wohl von allen trotzdem (hoffentlich richtig) als

a r c t a n (tan (\frac{7}{3} π)) =

? interpretiert wurde, vereinfacht sich in eindeutiger Weise zu

\frac{π}{3}

und der Fragesteller hatte von Anfang an das richtige Ergebnis.

R

tubesub aktiv_icon

14:05 Uhr, 29.11.2015

Ich meinte in der tat arctan

(tan (\frac{7}{3} π)),

Entschuldigung, falls ich damit für Verwirrung gesorgt habe.

\frac{π}{3}

habe ich als Ergebnis nun angegeben.

Danke für die Richtigstellung!
Grüße, tubesub

Roman-22

00:08 Uhr, 01.12.2015

Nein, du hast keine Verwirrung gestiftet, nur kurze Irritation. Alle Antwortgeben haben den Term ja so ohnedies so aufgefasst, wie du ihn gemeint hattest.
Cositan hat sich nur vertan, was die Eindeutigkeit der arctan-Funktion anlangt und sich ein wenig im Ton vegriffen.
Du hattest also gewissermaßen von Anfang an Recht und hast alles richtig gemacht ;-)

R

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