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a(v) * v = 0 impliziert a ist Nullabbildung?

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Skalarprodukte

Vektorräume

Tags: Linear Abbildung, Skalarprodukt, Vektorraum

Hammerman aktiv_icon

19:09 Uhr, 22.03.2024

Die Vorraussetzungen sind:
a ist lineare Abbildung von einem

ℂ

-Vektorraum(mit Skalarprodukt) auf sich selbst
a ist normal

zeige: wenn gilt:

a (v) \cdot v = 0

für alle

v,

dann ist a die Nullabbildung

Hatte diese Aufgabe in der Klausur und kam leider nicht drauf, vlt. gibts ja jmd hier der helfen kann. besten Dank im voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Skalarprodukt

michaL aktiv_icon

21:15 Uhr, 22.03.2024

Hallo,

darf der unitäre Vektorraum

V

vielleicht als endlich dimensional angenommen werden? (Macht die Sache zunächst einmal etwas einfacher, meiner Meinung nach.)

Dann kann die normale Abbildung

a

durch die Multiplikation mit einer normalen Matrix

A

realisiert werden, d.h. es gälte

a (v) = A \cdot v

für alle

v \in V

.
Desweiteren wäre

A = U D^{t} \overline{U}

mit einer Diagonalmatrix

D

und einer unitären Matrix

U

, welche als solche insbesondere invertierbar.

Man könnte dann relativ einfach

0 = 〈 A v; v 〉 = 〈 U D^{t} \overline{U} v; v 〉 =^{t} \overline{w} D w

mit

w :=^{t} \overline{U} v

nachrechnen.

Da mit

U

auch

^{t} \overline{U}

invertierbar ist (es ist genau genommen die Inverse zur Matrix

U

), folgt

0 =^{t} \overline{w} D w

für alle

w

, insbesondere für die Standardbasisvektoren

e_{k}

(

k \in {1, \dots, \dim (V)}

).

Es ist dann

0 =^{t} \bar{e_{k}} D e_{k}

, also jedes Diagonalelement der Diagonalmatrix

D

ist gleich Null. Damit ist

D

die Nullmatrix, und damit auch

A

und damit

a

die Nullabbildung.

Mfg Michael

KartoffelKäfer aktiv_icon

23:38 Uhr, 22.03.2024

Ist a normal,

gibt es eine Orthonormalbasis

B := (v_{1}, ..., v_{n})

von

V

aus Eigenvektoren von a

(wobei ich von

dim (V) = n \in N

ausgehe) .

Seien

λ_{1}, ..., λ_{n} \in C

deren jeweilige Eigenwerte .

Dann gilt

0 = a (v_{k}) \cdot v_{k} = λ_{k} {| v_{k} |}^{2} = λ_{k}

für alle

1 \leq k \leq n

.

Also gilt

M_{B}^{B} (a) = 0 \in M a t_{n \times n} (C)

und a ist die Nullabbildung

(Prinzip der linearen Ausdehnung).

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