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c ist eine basis von R^2x2

Universität / Fachhochschule

Tags: basis, Linear Abbildung, Zeige

 
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caglacel

caglacel aktiv_icon

22:57 Uhr, 10.12.2016

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Voraussetzung:
C=(1100),(1010),(0010),(0101)
2x2=(a0-2a2+2a3-a0-2a1+2a2+3a33a0-2a1+a2+2a3-2a0+3a1+2a2+2a3)

Behauptung: C ist eine Basisi von 2x2

beweis: 1. Lineare unabhängigkeit beweisen:

C=(1100101001100001)=0
somit gilt a=b=c=d=0 Matrizen linear unabhängig. C ist ein erzeugendensystem.

2x2=(10-233-212-1-223-2322)=0
somit gilt a0=a1=a2=a3=0 Matrizen linear unabhängig. 2x2 ist ein erzeugendensystem.

reicht das denn schon so? als beweis einer Basis?
oder muss ich die noch irgendwie ineinander setzen?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Exponentialfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Potenzregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Domares

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01:55 Uhr, 11.12.2016

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Ich kann nur bis zur einschließlich der zweiten Zeile folgen.

In der dritten Zeile schreibst du:

2×2=(a0-2a2+a3,-a0-2a1+2a2+3a33a0-2a1+a2+2a3,-2a0+3a1+2a2+2a3)

Woher kommt diese Gleichung, insbesondere woher kommt die spezielle Gestalt der Matrix rechts her?

Dem weiteren Verlauf kann ich überhaupt nicht mehr folgen, denn da wird dann nur mehr mit 4×4 Matrizen operiert, obwohl wir im Raum der reellwertigen 2×2 Matrizen sein sollen.

Abschließend sei noch erwähnt: Es reicht die lineare Unabhängigkeit der angegebenen vier Matrizen zu zeigen, denn der Vektorraum 2×2 ist 4-dimensional, weswegen C, bestehend aus 4 Matrizen, maximal linear unabhängig ist und somit eine Basis des 2×2 sein muss.