Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » charakteristische Polynom + Eigenwerte

charakteristische Polynom + Eigenwerte

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Charakteristisches Polynom

8mileproof aktiv_icon

16:22 Uhr, 31.08.2011

hey, hatte folgende aufgabe zu lösen.

a)

sei

n \geq 2

ein n-dimensionaler

ℝ

-Vektorraum mit Basis

{b_{1}, ..., b_{n}}

und sei die lineare Abbildung

φ : V \to V

definiert durch

b_{1} \to 0, b_{i} \to b_{i - 1}

für

i = 2, . ., n - 1,

und

b_{n} \to b_{n - 1} + b_{n}

dazu habe ich mir folgende matrix aufgestellt:

A = (\begin{matrix} 0 & 0 & . & . & 0 \\ 0 & b_{1} & . & . & 0 \\ 0 & 0 & b_{2} & . & 0 \\ 0 & . & . & . & . \\ 0 & . & . & . & . \\ 0 & . & . & . & b_{n - 1} + b_{n} \end{matrix})

und jetzt musste ich das charakteristische polynom dazu finden bzw. berechnen. also habe ich die gleichung

χ_{A} = det (A - λ \cdot E)

benutzt und folgendes rausbekommen:

χ_{A} = det (A - λ \cdot E) = (\begin{matrix} 0 - λ & 0 & . & . & 0 \\ 0 & b_{1} - λ & . & . & 0 \\ 0 & 0 & b_{2} - λ & . & 0 \\ 0 & . & . & . & . \\ 0 & . & . & . & . \\ 0 & . & . & . & b_{n - 1} + b_{n} - λ \end{matrix})

und anschließend habe ich die diagonaleinträge dieser diagonalmatrix genommen und die determinante bzw. charakteristische polynom genommen, indem ich das produkt der diagonalwerte aufgeschrieben habe. und so entstand:

χ_{A} = (0 - λ) \cdot (b_{1} - λ) \cdot (b_{2} - λ) \cdot ... . . \cdot (b_{n - 1} + b_{n} - λ))

ist das richtig so?

bei teilaufgabe

b)

musste ich die eigenwerte mit ihren algebraischen vielfachheiten bestimmen. ich habe folgende eigenwerte aus dem char. polynom abgelesen:

eigenwerte:

0, b_{1}, b_{2}, ... ., b_{n - 1} + b_{n}

und die algebraischen vielfachheiten dieser eigenwerte sind doch alle gleich

1,

oder?

edit: ich hoffe jmd. kann mir da helfen, falls in meiner rechnung fehler eingebaut habe....

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

8mileproof aktiv_icon

05:01 Uhr, 02.09.2011

schade, dass niemand bis jetzt geantwortet hat.....hatte mir echt viel mühe gegeben....::((((

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

913062

912628

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?