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Sei ∥ · ∥ eine Norm auf und ∥ · ∥∗ → definiert durch ∥x∥∗ · ∈ mit ∥y∥ Man nennt ∥ · ∥∗ die zu ∥ · ∥ duale Norm. Zeigen Sie: ∥ · ∥∗ ist tatsächlich eine Norm. Wenn ∥ · ∥ die Maximumsnorm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥∞), dann ist ∥ · ∥∗ die Betragssummennorm (also ∥ · ∥∗ = ∥ · ∥_1) Wenn ∥ · ∥ die euklidische Norm ist (also ∥ · ∥ = ∥ · ∥_2), dann ist auch ∥ · ∥∗ die euklidische Norm. Hinweis: Verwenden Sie die Cauchy-Schwarz-Ungleichung. Für alle ∈ gilt ∥y∥∗∗ ≤ ∥y∥ Hinweis: Betrachten Sie max_(y:∥y∥=1) ∥y∥∗∗. habe ich schon, aber bei und weiß ich überhaupt nicht, wie ich das machen soll. Könnte mir da bitte jemand helfen? Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, Due willst also bestimmen (ich schreibe mal ' statt Stern). Sei also . Dazu musst Du das Maximum von allen Summen bestimmen, wobei ist. Das bedeutet zunächst, dass alle sind. Nutze dies, um die obige Summe nach oben abzuschätzen und zwar gerade durch Jetzt könnte es sein, dass diese Abschätzung zu grob ist und das Maximum kleiner als ist. Dazu wähle ein spezielles mit so dass . |
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Hallo, Due willst also bestimmen (ich schreibe mal ' statt Stern). Sei also . Dazu musst Du das Maximum von allen Summen bestimmen, wobei ist. Das bedeutet zunächst, dass alle sind. Nutze dies, um die obige Summe nach oben abzuschätzen und zwar gerade durch Jetzt könnte es sein, dass diese Abschätzung zu grob ist und das Maximum kleiner als ist. Dazu wähle ein spezielles mit so dass . |
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Danke, das hilft mir sehr weiter! Ich habe jetzt auch so angefangen bei aber ich stecke fest bis jetzt habe ich: Seien xn), y=(y1,y2,...yn). ww: ∥y∥= sqrt(⟨y|y⟩), also sqrt(y1^2+...+yn^2)=1, also y1^2+...+yn^2=1 Durch die Cauchy-Schwarz-Ungleichung weiß ich, dass ⟨x|y⟩^2 ≤ ⟨x|y⟩⟨x|y⟩, also dass (x1y1)^2+...+(xnyn)^2 ≤ (x1^2+...xn^2)(y1^2+...+yn^2) Stimmt das soweit? Aber ich verstehe nicht, was mir diese Ungleichung jetzt bringt. Wie komme ich dazu, dass ∥x∥*=sqrt((x1y1)^2+...+(xnyn)^2)? Und könnte mir auch noch jemand bei helfen? |
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Hallo, schreibe doch zunächst die Cauchy-Schwarz-Ungleichung und die Folgerung richtig auf. Vielleich machst Du nur Schreibfehler beim Online-Schreiben, aber Mathematik braucht auch etwas Konzentration. Jedenfalls, wenn Du das korrigiert hast, wende die Bedingung an. Gruß pwm |
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Ach ja stimmt, es sollte ⟨x|y⟩^2 ≤ ⟨x|x⟩⟨y|y⟩. Der Rest, also (x1y1)^2+...+(xnyn)^2 ≤ (x1^2+...xn^2) (y1^2+...+yn^2), stimmt aber oder? Ich bin mir nämlich nicht ganz sicher ob ⟨x|y⟩^2=(x1y1)^2+...+(xnyn)^2 oder ⟨x|y⟩^2=((x1y1)+...+(xnyn))^2. |
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Achso nein, das ist ja auch Blödsinn. Ist ⟨x|x⟩⟨y|y⟩=sqrt((x1^2+...+xn^2)(y1^2+...+yn^2))? Ah jetzt hab ichs, danke!! |
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Also kann ich dann einfach sagen sqrt(y1^2+...+yn^2)=1, und dann bleibt sqrt(x1^2+...+xn^2) übrig, also genau die euklidische Norm? |
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Falsch ist immer noch, dass Du schreibst (?) . Wenn Du das korrigiert hast, hast Du gezeigt, dass Für die Gleichheit kannst Du den Spezialfall betrachten. |
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Danke für deine geduldigen Antworten ;-) Und bei Ist dann ∥y∥∗∗ · ∈ mit ∥x∥* ? Oder wie kann ich das verstehen? |
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