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e Kurvendiskussion

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: e-Funktion, Kurvendiskussion

nexus1991 aktiv_icon

13:20 Uhr, 15.04.2014

hey also ich habe die Funtion

f : x \to 4 x^{3} e^{- x}

Bestimme Sie die Schnittstellen mit der Koordinatenachse.

f (0) = 0 = y

Danach habe ich die

x

Schnittstellen berechnet.

4 x^{3} e^{- x} = 0 /

e^{- x}

ja keine Schnittstelle besitzt fällt die ja weg oder ?

4 x^{3} = 0

dann durch 4

x^{3} = 0

also eine Dreifachnullstelle.
Stimmt das so mathematisch ?

Des weiteren sollen 2 Ableitungen der Funktion gemacht werden. Bis jetzt weiß ich das eine Produkt & Kettenregel vorhanden ist.

f (x) = 4 x^{3} e^{- x}

u = 4 x^{3} ... ... . .

u' = 12 x^{2}

v = e^{- x} ... ... . .

v' = - e^{- x}

Zusammen gefasst:

f' (x) = u' \cdot v + u \cdot v'

12 x^{2} \cdot e^{- x} + (4 x^{3} \cdot e^{- x}) \cdot - 1

\frac{12 x^{2} - 4 x^{3} - 1}{e^{x}}

Geogebra sagt aber da würde:

\frac{- 4 x^{3} + 12 x^{2}}{e^{x}} \frac{/}{}

Wo ist die

- 1

hin ?

Vielen dank schon mal, weitere Probleme könnten folgen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
e-Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Kurvendiskussion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

e-Funktion

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

DrBoogie aktiv_icon

13:26 Uhr, 15.04.2014

"Bestimme Sie die Schnittstellen mit der Koordinatenachse."

Eigentlich sind es zwei Schnittstellen: mit der

y

-Achse im Punkt

(0, f (0))

und mit der

x

-Achse im Punkt

(x_{0}, 0)

, wobei

x_{0}

noch aus der Bedingung

f (x_{0}) = 0

gefunden werden muss. Nur dass in diesem konkreten Fall beide Schnittstellen zusammenfallen, im Punkt

(0, 0

, weil

f (0) = 0

und

f (x_{0}) = 0

nur im Fall

x_{0} = 0

möglich ist.

Zum letzten Punkt: die Gleichung

x^{3} e^{- x} = 0

löst man so:

x^{3} e^{- x} = 0

=> (Multiplikation von beiden Seiten mit

e^{x} \neq 0

) =>

x^{3} = 0

x = 0

.
So was wie "Dreifachnullstelle" würde ich in diesem Fall nicht schreiben, schließlich ist das keine rein polynomiale Gleichung.

DrBoogie aktiv_icon

13:30 Uhr, 15.04.2014

"Wo ist die −1 hin ?"

Bessere Frage wäre, wo hast Du denn

- 1

her? :-)
Bei Dir steht zuerst mal einfach

\cdot (- 1)

und dann machst Du aus dem Faktor einen Summanden. Deshalb ist es wichtig, die Klammern immer zu schreiben.

Also, zur Sicherheit noch Mal:

(4 x^{3} e^{- x})^{ʹ} = (4 x^{3})^{ʹ} e^{- x} + (4 x^{3}) (e^{- x})^{ʹ} = (12 x^{2}) e^{- x} + (4 x^{3}) (- e^{- x}) = (12 x^{2} - 4 x^{3}) e^{- x}

nexus1991 aktiv_icon

13:51 Uhr, 15.04.2014

Ok danke schon mal.

denn Fehler mit

\cdot (- 1)

hab ich gefunden

\land

Das einzige wo ich jetzt nicht schlau draus geworden bin ist:

Zitat:
"und mit der x-Achse im Punkt

(x 0,0),

wobei

x 0

noch aus der Bedingung

f (x 0) = 0

gefunden werden muss. Nur dass in diesem konkreten Fall beide Schnittstellen zusammenfallen, im Punkt

(0,0,

weil

f (0) = 0

und

f (x 0) = 0

nur im Fall

x 0 = 0

möglich ist."

naja dann kann ich ja weiter machen :-)

prodomo aktiv_icon

14:55 Uhr, 15.04.2014

Grober Fehler beim Ausmultiplizieren der zweiten Klammer !

nexus1991 aktiv_icon

16:12 Uhr, 16.04.2014

hey also ich hab zu der aufgabe jetzt noch die Extremwerte (Lage/Art) und
Wendepunkte (Lage/Art) berechnet nun soll ich die Wertemenge angeben.
Dazu muss ich ja die Extremwerte in betracht ziehen und das Randverhalten.
Jetzt habe ich aber probleme mit dem Randverhalten.

f (x) lim x \to - \infty = 4 x^{3} \cdot e^{- x} = 0

lim x \to + \infty ... .

= 0

Das würde doch heißen pos zahlen gehen gegen 0 und negative auch.
wie setzt sich aber nun meine Wertemenge zusammen ?
Hochpunkt

(3; 5,38)

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nexus1991 aktiv_icon

16:26 Uhr, 16.04.2014

muss mich korikieren wenn ich negative Zahlen einsetzte geht es gegen

- \infty

anonymous

17:32 Uhr, 16.04.2014

Wo ist denn jetzt die Frage? ;-)

Wertemenge ist eigentlich genau wie Du sagst abhängig vom Globalverhalten und den Extremstellen. (Zusatz btw.: Bei stetigen(!) Funktionen... Mit Polstellen bei gebrochenrationalen Fkts. isses anders - die sind hier in NRW aber ab

2014

ausm Lehrplan..)

Also, Deine Funktion kommt von

- \infty

und geht nach

0 -

wenn ich das so salopp formulieren darf..

Du suchst also ggf. noch den höchsten Punkt der Funktion, mit HP(3|5,38) wird als höchster y-Wert also

5,38

erreicht. Die Funktion steigt insgesamt also von

- \infty

bis

5,38

an (erreicht diesen Wert auch) und fällt dann wieder gegen 0.

Den Wertebereich kannst Du dann doch selbst angeben, oder?

W (f) = R | y ... ...

? ("|" heißt "unter der Bedingung")

Grüße, IP

nexus1991 aktiv_icon

22:32 Uhr, 16.04.2014

stimmt jetzt wo du´s so sagst, ich merk schon zu viel Mathe am Tag ist nicht gut für mich :-D)
Die gebrochen rationalen Fkts hatten wir auch, wie es allgemein hier in rlp ist weis ich nicht. Die Prüfung dürfen hier ja auch noch selber geschrieben werden und dort waren auch schon paar drin.

naja vielen dank :-)

nexus1991 aktiv_icon

22:32 Uhr, 16.04.2014

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