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endliche Summe

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen und Reihen

tin88 aktiv_icon

16:57 Uhr, 28.07.2014

Hallo!
Ich hab folgende Aufgabe mit Lösung gegeben, die Lösung ist mir allerdings nicht ganz klar und ich weiß auch gar nicht sicher, ob diese auch stimmt, vielleicht könnt ihr mir ja helfen:

Finde alle

x \in (- \infty, \infty)

so, dass

\sum_{n = 1}^{\infty} (7 x + 3)^{- n}

endlich ist.

Lösung:
Die Summe kann ich umschreiben in

\sum_{n = 1}^{\infty} (\frac{1}{7 x + 3})^{n}

, das ist mir noch klar

dann steht da, dass für

∣ 7 x + 3 ∣ < 1

die Summe endlich ist. Das versteh ich nicht, da erhalt ich doch keine endliche Summe oder?

Danach wurde der Betrag aufgelöst:

7 x + 3 > 0

und

- 7 x - 3 < 1

auch hier ist mir nicht ganz klar warum das so geschieht...

daraus ergeben sich dann

x > - \frac{3}{7}

und

x < - \frac{4}{7}

Vielleicht kann ja jemand etwas Licht in mein Dunkel bringen =)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Bummerang

17:52 Uhr, 28.07.2014

Hallo,

die Summe

\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{7 \cdot x + 3})}^{n}

ist eine geometrische Reihe mit dem konstanten Faktor

q = \frac{1}{7 \cdot x + 3}

. Ihr solltet bereits bewiesen haben, dass die geometrische Reihe konvergent ist, wenn

| q | < 1

ist. Damit sollte folgen, dass gilt:

| \frac{1}{7 \cdot x + 3} | < 1

\frac{| 1 |}{| 7 \cdot x + 3 |} < 1

\frac{1}{| 7 \cdot x + 3 |} < 1

1 < | 7 \cdot x + 3 |

Hast Du Dich da mit "

| 7 \cdot x + 3 | < 1

" verschrieben, oder steht es wirklich so falsch da?

Dann muss man die Ungleichung lösen:

Fall

1 : 7 \cdot x + 3 > 0 \Rightarrow | 7 \cdot x + 3 | = 7 \cdot x + 3

und

x > - \frac{3}{7}

1 < 7 \cdot x + 3

- 2 < 7 \cdot x

- \frac{2}{7} < x

- \frac{3}{7} < - \frac{2}{7}

ist, folgt aus diesem Fall:

x > - \frac{2}{7}

Fall

2 : 7 \cdot x + 3 < 0 \Rightarrow | 7 \cdot x + 3 | = - (7 \cdot x + 3) = - 7 \cdot x - 3

und

x < - \frac{3}{7}

1 < - 7 \cdot x - 3

4 < - 7 \cdot x

- \frac{4}{7} > x

- \frac{4}{7} < - \frac{3}{7}

ist, folgt aus diesem Fall:

x < - \frac{4}{7}

Insgesamt ergibt sich:

L (x) = ℝ \ [- \frac{4}{7}; - \frac{2}{7}]

tin88 aktiv_icon

18:36 Uhr, 28.07.2014

Ja das steht eben wirklich so da.
Danke für deine Antwort,
aber ich glaub du hast da auch einen Fehler drin:

- \frac{3}{7} < - \frac{2}{7}

, somit folgt

x > - \frac{2}{7}

und die Lösungsmenge gesamt ist

L (x) = (- \infty, - \frac{4}{7}) ⋀ (- \frac{2}{7}, \infty)

oder bin ich da jetzt komplett falsch?

rundblick aktiv_icon

20:33 Uhr, 28.07.2014

"
oder bin ich da jetzt komplett falsch?
"

lustige Formulierung..

\to

also, richtig ist, dass bei

1)

folgt

\to x > - \frac{2}{7}

\to

falsch ist dein ⋀ -Symbol bei der Darstellung der gesamten Lösungsmenge

\to

⋀ bedeutet

\to

"UND"

...

. richtig wäre hier jedoch das "ODER"

\to V

nun komplett ?

Bummerang

09:45 Uhr, 29.07.2014

Hallo,

ertappt und ausgebessert!

Allerdings schließe ich mich rundblick nur zum Teil an. Natürlich ist das

\land -

Symbol falsch, aber auch das

\lor -

Symbol wäre falsch. Will man die beiden Lösungsmengengen aus den beiden Fällen mit den beiden Intervallen darstellen, muss man so schreiben:

L (x) = (- \infty; - \frac{4}{7}) \cup (- \frac{2}{7}; + \infty)

oder

L (x) = {x | x \in (- \infty; - \frac{4}{7}) \lor x \in (- \frac{2}{7}; + \infty)}

oder

. .

.

Ich will nur verdeutlichen, dass

(- \infty; - \frac{4}{7})

und

(- \frac{2}{7}; + \infty)

Mengen sind und dafür natürlich Mengenoperatoren benutzt werden müssen und nicht logische Operatoren wie

\land

oder

\lor

. Andererseits sind

x \in (- \infty; - \frac{4}{7})

und

x \in (- \frac{2}{7}; + \infty)

Aussagen, die wiederrum mit logischen Operatoren verknüpft werden müssen und nicht mit Mengenoperatoren! Da

L (x)

selbst die Lösungsmenge ist und damit definitiv eine Menge, kann diese nur aus Mengen, verknüpft mit Mengenoperationen, hervorgehen. Benutzt man Aussagen über

x,

muss man diese als Bedingung in einer Mengenklammer angeben und die Menge über alle

x

bilden, die diese Bedingung erfüllen! Das "..." am Ende steht dann für solche anderen Darstellungen der Lösungsmenge, wie ich sie

z . B

. benutzt hatte oder

z . B

für

{x \in ℝ | x < - \frac{4}{7} \lor x > - \frac{2}{7}}

bzw.

{x \in ℝ | x \notin [- \frac{4}{7}; - \frac{2}{7}]},

letzteres ist nur eine andere Schreibweise für meine

o . a

. Lösungsmenge.

tin88 aktiv_icon

09:55 Uhr, 29.07.2014

Danke für eure Hilfe, solche Fehler sollten mir eigentlich nicht passieren =)

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