euklidischer/ faktorieller Ring

Ich habe 2 gröbere Probleme mit Beispielen und bräuchte etwas Hilfe/Denkanstöße.

Falls R ein faktorieller Ring ist, so soll ich zeigen, dass (d) (das von ${\displaystyle \mathrm{d<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\ne 0}$ erzeuge Hauptideal) nur in endlich vielen Hauptidealen von R enthalten sein kann.

Falls R bez. einer Funktion f ein euklidischer Ring mit 1 ist impliziert, dass für ${\displaystyle \mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ folgt, dass ${\displaystyle {\mathrm{r<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$, falls f(r)=f(1).

Dankeschön schonmal im Voraus!

Lg

Danke erstmal für die schnelle Antwort. Nun gleich wieder eine Frage, reicht es zu sagen, dass ich mein element d eindeutig (da R faktoriell) in prime (und somit irreduzible) Elemente ${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\cdot \mathrm{...}\cdot {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$ zerlegen kann und da für jedes dieser Elemente gilt, dass (${\displaystyle {\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{i<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}}$) maximal ist, gilt (d)${\displaystyle \subseteq \left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\right)\cup \mathrm{...}\cup \left({\mathrm{a<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}\right)}$?

PS: (d) kann nicht in weniger Hauptidealen liegen, da sich irreduzible Elemente nicht gegenseitig teilen (deine 2te Bemerkung), oder??

Danke vielmals, hab alles und habs verstanden!! :-)