Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » f(x)=1/48x^4-x^2+9 ableiten

f(x)=1/48x^4-x^2+9 ableiten

Schüler Berufliches Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Ableitung, Extrema, Gebrochen-rationale Funktionen, Nullstellen, Wendepunkt, y-Achse

climadio aktiv_icon

13:46 Uhr, 18.03.2013

Hallo, stehe vor einer wichtigen Klausur und meine Fragen beziehen sich alle auf eine Funktion.

f (x) = \frac{1}{48} x^{4} - x^{2} + 9

Vorerst müsste ich wissen, wie man mit dieser wirren Funktion
a)die Nullstellen,
b)die Extrema,
c)die Wendepunkte und
d)den y-Achsenabschnitt berechnet.

Wäre sehr dankbar für Hilfestellungen!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Extrema (Mathematischer Grundbegriff)
Nullstellen (Mathematischer Grundbegriff)
Vielfachheit einer Nullstelle (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ableiten mit der h-Methode
Ableitungsregeln für Polynomfunktionen
Allgemeine Exponentialfunktion - Fortgeschritten
Allgemeine Sinusfunktion
Extrema / Terrassenpunkte
Kettenregel
Krümmungsverhalten
Newton-Verfahren
Nullstellen

Zu diesem Thema passende Musteraufgaben einblenden

Ableiten mit der Kettenregel

Wie leitet man mit der Kettenregel ab?

Wie leitet man verkettete Funktionen ab?

Ableiten mit der Produktregel

Wie leitet man mit der Produktregel ab?

Wie leitet man das Produkt zweier Funktionen ab?

Ableiten mit der Quotientenregel

Wie leitet man mit der Quotientenregel ab?

Wie leitet man den Quotienten zweier Funktionen ab?

Ableiten von Exponentialfunktionen

Wie leitet man Exponentialfunktionen ab?

Ableiten von Logarithmusfunktionen

Wie leitet man Logarithmusfunktionen ab?

Ableitung an einer Stelle

Wie bestimmt man die Ableitung

f' (x)

einer Funktion

f (x)

an der Stelle

x_{0}

Ableitung der trigonometrischen Funktionen

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der Winkelfunktionen?

Wie lauten die Ableitungsfunktionen der trigonometrischen Funktionen?

Ableitung einer Polynomfunktion

Wie bestimmt man die Ableitung einer Polynomfunktion?

Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten

Wie bestimmt man die Ableitung einer Potenzfunktion mit ganzzahligem Exponenten?

Ableitung einer Summe zweier Funktionen

Wie bestimmt man die Ableitung einer Summe zweier Funktionen?

Ableitung eines Vielfachen einer Funktion

Wie bestimmt man die Ableitung eines Vielfachen einer Funktion?

Differenzenquotient berechnen

Wie wird der Differenzenquotient berechnet?

Differenzialquotient berechnen

Wie wird der Differenzialquotient berechnet?

Graph der 1.Ableitung und der Ausgangsfunktion

Wie hängt der Graph der 1.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Graphen der 1. und 2.Ableitung und Graph der Ausgangsfunktion

Wie hängen die Graphen der 1. und 2.Ableitung mit dem Graph der Ausgangsfunktion zusammen?

Herleitung: Ableitung der Kosinusfunktion

Wie leitet man die Kosinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Sinusfunktion

Wie leitet man die Sinusfunktion ab?

Herleitung: Ableitung der Tangensfunktion

Wie leitet man die Tangensfunktion ab?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 3. Grades durch?

Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer ganzrationalen Funktion 5. Grades durch?

Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie führt man eine Kurvendiskussion einer gebrochen-rationalen Funktion durch?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion?

Nullstellen einer Potenzfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer Potenzfunktion wenn der Exponent

n = 2

oder

n = - 2

ist?

Nullstellen einer allg. Sinusfunktion bestimmen

Wie bestimmt man die Nullstellen einer allgemeinen Sinusfunktion?

Wie bestimmt man die Schnittpunkte einer allgemeinen Sinusfunktion mit der x-Achse?

Nullstellen von Polynomfunktionen

Wie bestimmt man die Nullstellen von Polynomfunktionen?

Sattel- bzw.Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen

Wie bestimmt man die Terrassenpunkte eines Funktionsgraphen?

Wie bestimmt man die Sattelpunkte eines Funktionsgraphen?

Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion

Wie bestimmt man eine Stammfunktion einer gebrochen-rationalen Funktion?

Steckbriefaufgaben (mit Ableitung)

Wie löst man Steckbriefaufgaben?

Wendepunkte eines Funktionsgraphen

Wie bestimmt man die Wendepunkte eines Funktionsgraphen?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie löst man eine quadratische Gleichung?

Wie bestimmt man die Nullstellen einer quadratischen Funktion?
Wo schneidet eine Parabel die x-Achse?

prodomo aktiv_icon

13:55 Uhr, 18.03.2013

Warum ist die "wirr" ? Biquadratische Funktionen sind absoluter Standard. Lediglich die Nullstellen erfordern einen kleinen Trick: setze

x^{2} = z,

löse dann die quadratische Gleichung und berechne danach wieder

x = \sqrt{z}

climadio aktiv_icon

13:59 Uhr, 18.03.2013

Für mich ist sie wirr ;-)

Also die Substitution habe ich mehr oder weniger drauf, wollte nur sichergehen, ob es so stimmt. Der Rest macht mir da eher zu schaffen.

Gwunderi aktiv_icon

15:11 Uhr, 18.03.2013

Hallo Climadio

Hast Du jetzt die Nullstellen raus?
Und was macht Dir noch zu schaffen?

MiKtOm aktiv_icon

15:24 Uhr, 18.03.2013

Hallo Climadio

wie schaut's denn jetz aus, hast du schon was?

Gruß MiKtOm

climadio aktiv_icon

15:26 Uhr, 18.03.2013

Hi, die Nullstellen sind

x 1 = 3,46

x 2 = - 3,46

x 4 = 6

x 4 = - 6

Kann ich jetzt theoretisch den Rest mit der substitionierten Form berechnen?

Also in dem Beispiel mit

1 z^{2} - 48 z + 432

(Nach Vereinfachung durch wegmultiplizieren des Nenners)?

MiKtOm aktiv_icon

15:32 Uhr, 18.03.2013

Hallo Climadio

Im Prinzip ja, du musst halt nur daran denken, zum Schluss die Substitution wieder rückgängig zu machen.
Du kannst dir aber ja auch für die Extrema Gedanken über die Originalfunktion machen:
1.) Wann besitzt denn die Funktion ein Extremum?
2.) Was muss dann weiter für die erste Ableitung gelten?

Gruß MiKtOm

Gwunderi aktiv_icon

15:49 Uhr, 18.03.2013

Ne, für die Extrema kannst Du nicht mit der Substitution weiterrechnen:

Die Originalfunktion ist symmetrisch zur y-Achse (alle Potenzen geradzahlig).
Die substituierte Funktion ist nicht symmetrisch zur y-Achse (gerade und ungerade Potenzen).
Ausserdem hat eine quadratische Funktion nur einen Extrempunkt, eine Funktion 4. Grades kann mehrere haben.

Auch Wendeunkte besitzt ja eine quadratische Funktion keine.

Also ist es Dir angeraten, mit der ursprünglichen Funktion weiterzufahren ...

climadio aktiv_icon

15:49 Uhr, 18.03.2013

Die erste Frage kann ich nicht so wirklich beantworten. Ich würde es aber so machen, dass ich die Grundfunktion

(\in

der Fragestellung) ableite und diese dann gleich 0 setze. Wäre das ein Ansatz? Dann brauche ich die Substitution doch nur für die Nullstellen, oder?

Gwunderi aktiv_icon

15:50 Uhr, 18.03.2013

Genau, unsere Posts haben sich anscheinend gekreuzt.

climadio aktiv_icon

16:05 Uhr, 18.03.2013

Ja, habe dennoch verstanden ;-) Ich habe bei den Nullstellen jetzt

x 1 = 0

x 2 = 4,38

(Wurzel aus

19,2)

Gwunderi aktiv_icon

16:09 Uhr, 18.03.2013

@MiKtOm

Muss mich korrigieren, die Symmetrie ist kein Kriterium, denn beim Rücksubstituieren zieht man ja die Wurzel und das ergibt wieder achsensymmetrische Punkte (

\pm x_{E}

). Hattest also doch recht, im Prinzip schon - nur verliert man damit eine Lösung. Muss mir noch genau überlegen, warum (rechnerisch ist es klar, aber "anschaulich").

Gwunderi aktiv_icon

16:13 Uhr, 18.03.2013

Ich bin auf ein anderes Ergebnis gekommen.

\sqrt{19, 2} = \pm 4, 38

(also zwei Lösungen)

Aber ich komme auf x=0 und

x = \pm \sqrt{24}

Wie sieht Deine Ableitung aus?

climadio aktiv_icon

16:25 Uhr, 18.03.2013

Meine Ableitung lautet

0 = 5 x^{3} - 96 x

Gwunderi aktiv_icon

16:32 Uhr, 18.03.2013

Woher hast Du diese Zahlen?

Die ursprüngliche Funktion ist ja

f (x) = \frac{1}{48} x^{4} - x^{2} + 9

Die Ableitung:

f' (x) = 4 \cdot \frac{1}{48} x^{3} - 2 x = \frac{1}{12} x^{3} - 2 x

climadio aktiv_icon

16:50 Uhr, 18.03.2013

Habe die

48

aus dem Nenner ausmultipliziert.

Zu

1 x^{4} - 48 x^{2} + 432

Und davon die erste Ableitung gebildet.

Gwunderi aktiv_icon

16:57 Uhr, 18.03.2013

Hatte mir schon gedacht, dass die -96x von daher kommen, aber woher dann die

5 x^{3}

?

Was ist denn die Ableitung Deiner neuen (mit 48 multiplizierten) Funktion?

climadio aktiv_icon

17:33 Uhr, 18.03.2013

Oh, es sind natürlich

4 x^{3}

.
Die Ableitung ist

4 x^{3} - 96 x

climadio aktiv_icon

17:36 Uhr, 18.03.2013

Daraus folgt bei mir

x 1 = 0

x 2 = 4,8

x 3 = - 4,8

Gwunderi aktiv_icon

17:44 Uhr, 18.03.2013

\sqrt{24} = \pm 4, 898 . . .

Also genauer:

x_{2, 3} = \pm 4, 9

Das sind jetzt die x-Werte der Extrempunkte.
Man erhält dieselben, ob man nun mit der Ableitung der ursprünglichen Funktion oder der Ableitung der neuen (mit 48 multiplizierten) Funktion rechnet.

Grosse Quizfrage: Sind auch die dazugehörigen y-Werte dieselben?

climadio aktiv_icon

17:50 Uhr, 18.03.2013

Stimmt ;-) Ich würde spontan sagen, die muss man errechnen, indem man die x-Werte einsetzt. Oder einen.

Gwunderi aktiv_icon

17:59 Uhr, 18.03.2013

Ja, da die Funktion achsensymmetrisch zur y-Achse ist, genügt es, den y-Wert von x= 4,9 zu berechnen (und von x=0 natürlich).

Und zwar von der ursprünglichen Funktion - setzt Du sie in die neue ein, erhältst Du den 48-fachen Wert, denn die neue Funktion ist um den Faktor 48 gestreckt.

(Siehe Bild - da ist die Funktion nur um den Faktor 2 gestreckt)

climadio aktiv_icon

18:07 Uhr, 18.03.2013

Dann habe ich das jetzt verstanden.

Die restlichen Punkte ebenso.

Ein herzliches Dankeschön für die Geduld und Zeit :-)

Gwunderi aktiv_icon

18:09 Uhr, 18.03.2013

Schön, gern geschehen : )

1082575

1082487

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?