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ggT und kgV

Universität / Fachhochschule

Tags: ggT, kgV, Zeigen Sie

 
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Annikanni

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16:46 Uhr, 12.05.2013

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Hallo zusammen!

Ich muss bis Dienstag folgende Aufgabe geschafft haben:
a) Seien a,b∈ℕ. Zeigen Sie: kgV(a,b)/a und kgV(a,b)/b sind teilerfremd.
b) Bestimmen Sie alle a,b∈ℕ mit a<b, so dass kgV(a,b)=6+ggt(a,b)Hallo zusammen!

Ich denke folgender Satz ist für beide Aufgabenteile wichtig: kgV(a,b)*ggT(a,b)=a*b

Zu a) habe ich mir folgendes überlegt:
Zwei Zahlen sind ja teilerfremd, wenn der ggT dieser Zahlen 1 ist.
Also habe ich ggT(kgV(a,b)/a , kgV(a,b)/b ) so versucht umzuformen, dass da 1 rauskommt!
dann steht da bei mir: kgV(a,b) ⋅ ggT(1/a ,1b), aber dann wären a1a und 1b nicht aus den natürlichen Zahlen und dann gibt es auch keinen ggT.. Ist vielleicht schon der Ansatz falsch?

Zu b) habe ich den Satz, den ich oben angegeben habe versucht, zu verwenden. dafür habe ich einmal versucht kgV und einmal ggT zu ersetzten.

1. Versuch: ggT(a,b)= kgV(a,b) -6
d.h. (kgV(a,b)-6)*kgV(a,b)=a*b
⇒ kgV(a,b)*kgV(a,b) -6kgV(a,b) =a⋅b

2.Versuch: kgV(a,b) = ggT(a,b) +6
d.h. (ggT(a,b) +6)⋅ ggT(a,b) =a⋅b
aber hier komme ich auch nicht weiter.

Ist vielleicht auch bei der b) der Ansatz falsch? Ich komme hier echt nicht weiter und wäre euch wirklich dankbar um eure Hilfe!

Liebe Grüße!
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Annikanni

Annikanni aktiv_icon

17:28 Uhr, 12.05.2013

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Ich habe noch einen neuen Ansatz:

a) (kgV(a,b)) /a=∏pmin{a,b} geteilt durch ∏pa=∏pmax{a,b}-a
(kgV (a,b))b=∏pmax{a,b} geteilt durch ∏pb=∏pmax{a,b}-b

aber da weiß ich jetzt nicht wieso ich sagen kann dass die teilerfremd sind.

b) (ggT(a,b)+6)*ggT(a,b) =a⋅b
⇒ ggT(a,b)^2 + 6ggT(a,b) =a⋅b
⇒∏pmin{a,b}⋅2+6⋅∏pmin{a,b}=∏pa+b

Das a und das b im Exponent sind jeweils α und bet.

Wie mir das jetzt weiterhelfen kann alle a,b zu finden, für die das gilt, weiß ich aber auch nicht : Aber vielleicht ist der Ansatz besser.


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Bummerang

Bummerang

02:11 Uhr, 13.05.2013

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Hallo,

bei der Aufgabe b) hast Du wohl den Wald vor lauter Bäumen nicht mehr gesehen. Natürlich ist der ggT(a,b) ein Teiler von a bzw. von b und damit natürlich auch von jedem Vielfachen von a bzw. b und damit insbesondere vom kgV(a,b). Damit also gelten kann, dass:

kgV(a,b) =6+ ggT(a,b)

ist, muss der ggT(a,b) ein Teiler von 6 sein. Dafür gibt es exakt 4 Möglichkeiten und für jede dieser Möglichkeiten ergibt sich exakt ein kgV(a,b)

Als einzige Lösungen ergibt sich dann: (a,b)∈{(1,7),(2,8),(3,9),(6,12)}
Annikanni

Annikanni aktiv_icon

13:11 Uhr, 13.05.2013

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Gib hier Deine Frage ein. hey, danke schonmal für deine hilfe :-) ich dachte wir müssen formal agumentieren. Aber ist dann (2,4) nicht auch noch ein zahlenpaar? Und wie kann ich argumentieren dass es keine weirere zahl gibt für die das gilt? :-)

Liebe grüße,
Annikanni
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Bummerang

Bummerang

13:17 Uhr, 13.05.2013

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Hallo,

bei (2,4) ist das ggT 2 aber das kgV 4 und deshalb gilt nicht kgV =6+ ggT. Also ist das kein Lösungspaar!

"Und wie kann ich argumentieren dass es keine weirere zahl gibt für die das gilt?"

Steht doch schon da: "... muss der ggT(a,b) ein Teiler von 6 sein. Dafür gibt es exakt 4 Möglichkeiten ..."

Als Paare für ggT und kgV kommen nur (1,7),(2,8),(3,9) und (6,12) in Frage und für diese Paare an ggT und kgV gibt es immer genau eine Lösung (a,b) und die ist (ggT, kgV), denn a⋅b= ggT*kgV.

(ggT,kgV) =(1,7)⇒a⋅b=7⇒ einzig mögliche Faktorzerlegung (1,7)

(ggT,kgV) =(2,8)⇒a⋅b=16⇒ einzig mögliche Faktorzerlegung mit ggT=2 und kgV= 8:(2,8)

(ggT,kgV) =(3,9)⇒a⋅b=27⇒ einzig mögliche Faktorzerlegung mit ggT=3 und kgV= 9:(3,9)

(ggT,kgV) =(6,12)⇒a⋅b=72⇒ einzig mögliche Faktorzerlegung mit ggT=6 und kgV= 12:(6,12)