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hinreichende und notwendige Bedingung finden

Universität / Fachhochschule

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Tags: hinreichende Bedingung, Logarithmusgleichung, notwendige Bedingung, Relation.

 
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opexa

opexa aktiv_icon

23:54 Uhr, 13.09.2017

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Hallo zusammen
Ich komme bei einer Aufgabe einfach nicht weiter. Die Aufgabe lautet
Finde die hinreichende und notwendige Bedingung für folgende Gleichung. Wobei a ungleich 0,b und c sein soll.

logc+ba+logc-ba=2×logc+ba×logc-ba



Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
sprtka

sprtka aktiv_icon

10:46 Uhr, 14.09.2017

Antworten
Man kann die Gleichung umformulieren zu einer Gleichung mit beliebiger Basis:

lnaln(c+b)+lnaln(c-b)=2lnaln(c+b)lnaln(c-b)
lnaln(c-b)+lnaln(c+b)ln(c+b)ln(c-b)=2lnalnaln(c+b)ln(c-b)
(ln(c-b)+ln(c+b))lnaln(c+b)ln(c-b)=2lnalnaln(c+b)ln(c-b)
ln(c-b)(c+b)=2lna
ln(c²-b²)=lna² Ann c²-b²>0
c²-b²=a²

Somit ist notwendige Bedingung c²-b²>0 bzw. c>b und c+b1 und c-b1 und hinreichende c²-b²=a²
opexa

opexa aktiv_icon

11:14 Uhr, 14.09.2017

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Danke für die rasche Antwort
Aber ich verstehe nicht ganz wie man auf die erste Zeile kommt. Könntest du das vielleicht näher erläutern?

LG
Antwort
DerDepp

DerDepp aktiv_icon

11:39 Uhr, 14.09.2017

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Hossa :-)

Der Logarithmus von a zur Basis b wird geschrieben als x=logb(a) und ist als Lösung der Gleichung a=bx definiert. Wenn du auf diese Gleichung den natürlichen Logarithmus ln() anwendest, bekommst du:

a=bxln(a)=ln(bx)=xln(b)x=ln(a)ln(b)

Deswegen gilt: logb(a)=ln(a)ln(b)

Du musst dazu nicht unbedingt den natürlichen Logarithmus ln() nehmen. Die Rechnung kannst du mit jedem Logarithmus log() unabhängig von dessen Basis durchführen.
Frage beantwortet
opexa

opexa aktiv_icon

11:47 Uhr, 14.09.2017

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Achsoo

Danke viel mal. Die Aufgabe wäre gar nicht mal schwierig gewesen.

LG