Partner von azubiworld.com - Logo
 
Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » Beweis der Stetigkeit und Unstetigkeit

Beweis der Stetigkeit und Unstetigkeit

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Stetigkeit, Unstetigkeit

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
nuubi

nuubi aktiv_icon

15:52 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Hallo! :-)

Gegeben ist die Funktion f: ℝ, definiert durch

    |  1q, wenn x=pq mit p und q und pq ist vollständig gekürzt,
f(x)=
    |  0 sonst.

Zu beweisen ist:

A) Für alle x ist f nicht stetig.
B) Für alle x\ ist f stetig.

Ich würde gern einen Lösungsansatz liefern, habe aber keinen Plan!
Lediglich eventuell einen blassen Schimmer einer Idee:

A) Man müsste irgendwie eine Folge (an) finden, die gegen a konvergiert wobei aber die Folge (f(an)) nicht gegen f(a) konvergiert.
B) Hier müsste man vlt. zeigen, dass (f(an)) konvergent ist.

Über einen vollständigen Lösungsweg würd ich mich freuen, aber auch über Tipps und Anregungen sowie ähnliche Aufgaben mit Lösung als Denkanstoß wären toll!




Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Stetigkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:00 Uhr, 19.05.2017

Antworten
a) ist einfach, b) eher komplex

a) Sei x aus . Dann konvergiert x+πn gegen x, aber alle x+πn sind nicht rational, daher f(x+πn)=0 für alle n und damit limnf(x+πn)=0. Aber f(x)0, daher keine Stetigkeit

b) man muss zeigen, dass wenn pnqnx und x nicht aus (alle Brüche gekürzt), dass dann qn0 geht. Man kann hier z.B. indirekt argumentieren und dabei die dezimaldarstellung von x nutzen.
Frage beantwortet
nuubi

nuubi aktiv_icon

19:25 Uhr, 19.05.2017

Antworten
Das ist einleuchtend, vielen Dank! :-)
nuubi

nuubi aktiv_icon

17:33 Uhr, 24.05.2017

Antworten
Hallo, ich habe mich mit der Aufgabe noch einmal beschäftigt und jetzt ist mir leider noch weniger klar als vorher! Ich habe mir Folgendes überlegt:

Ist (an) eine rationale Folge mit Grenzwert x, dann gilt f(x)=1q und f(an)=1q, dann ist f stetig in x.

Ist (pnqn) eine rationale Folge mit Grenzwert x\, dann gilt f(x)=0 und f(pnqn)=1qn, das bedeutet, dass f nicht stetig in x ist.

Damit würde ich genau das Gegenteil beweisen, der Aufgabenstellung nach wären meine Überlegungen falsch, aber warum?!

Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

20:09 Uhr, 24.05.2017

Antworten
Hallo für Stetigkeit mussefür ALLE Folgen xnx,f(xn)f(x)
wenn du ein paar (die rationalen raussuchst reicht das nicht für Stetigkeit, im Gegenteil, wenn du nur eine Folge xn hast für die das nicht gilt, und eine wurde dir genannt ist die fit in dem Punkt nicht stetig.
Stetigkeit kann man selten mit Folgen zeigen eben wegen dem "Alle"
Gruß ledum
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

21:03 Uhr, 24.05.2017

Antworten
Hallo,


" Ist (pnqn) eine rationale Folge mit Grenzwert x∈ℝ\ℚ, dann gilt f(x)=0 und f(pnqn)=1qn [...]"

Zumindest wenn pn, qn und pn und qn teilerfremd.
(Ich bezeichne in diesem Beitrag mit die natürlichen Zahlen OHNE die 0.)

Um die Stetigkeit von f an der Stelle x nachzuweisen, müssen wir also (insbesondere) limn1qn=0 nachweisen.

Gleichbedeutend ist wegen qn>0 die Eigenschaft limnqn=+.

Der Nachweis dieser Eigenschaft ist nicht ganz einfach:


Sei K beliebig vorgegeben.
Wir müssen nun ein N finden mit qnK für alle nN.

Die Mengen Q:={qq<K} und P:={pp<2xK} sind endlich und somit auch die Menge M:={pqpP,qQ}.

Sei ɛ:=min({m-xmM}{x}).
Dann ist ɛ>0, da alle mM rational sind, jedoch x irrational ist.

Wegen limnpnqn=x existiert ein N mit

(*) pnqn-x<ɛ

für alle nN.

Sei nun nN beliebig vorgegeben.
Zeigen wollen wir, dass wie gewünscht qnK gilt.

Nach Definition von ɛ und nach (*) erhalten wir pnqnM und pnqnɛ+x2x, also pn2xqn (**).

Wegen pnqnM gilt pnP oder qnQ.
Falls pnP folgt pn2xK und damit mit (**) qnK.
Falls qnQ erhalten wir direkt qnK.


Viele Grüße
Tobias
nuubi

nuubi aktiv_icon

16:12 Uhr, 25.05.2017

Antworten
Hallo ledum, hallo tobit, danke für eure Beiträge! :-)

@ledum: Ja, es muss für alle Folgen gelten, kapiert!

@tobit: Wenn der Grenzewert der Folge (1qn)=0 ist, sind doch alle Folgenglieder aus der Menge der rationalen Zahlen und für alle x ist f(x) ja(gemäß Aufgabe Teil A) nicht stetig.
Bzw. limn1qn=0 und limnf(1qn)=1qn0, denn 1qn für alle n.

Ich komme mit dem Aufgabenteil B einfach nicht weiter :(

Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:50 Uhr, 25.05.2017

Antworten
"sind doch alle Folgenglieder aus der Menge der rationalen Zahlen und für alle x ∈ℚ ist f(x) ja(gemäß Aufgabe Teil A) nicht stetig"

Du verwechselst zwei Sachen: "alle Folgenglieder rational" und "Grenzwert rational".
Sie haben nichts miteinander zu tun.
Eine komplett rationale Folge kann gegen eine irrationale Zahl konvergieren und umgekehrt.
Der Teil A kann Dir im Teil B gar nicht helfen, also vergiss ihn lieber.

Wie ich schon sagte am Anfang, Teil B ist komplex. Aber Tobit war so nett, den Beweis zu schreiben. Nun musst Du ihn nur verstehen. Aber das ist einfach, daher denke in Ruhe darüber nach.
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

19:39 Uhr, 25.05.2017

Antworten
Alles Wesentliche hat DrBoogie schon erklärt. (Danke dafür! :-) )


Ich habe noch nicht ganz (aber "fast") gezeigt, dass f in jedem irrationalen Punkt x stetig ist:

Dazu müssen wir eine beliebig vorgegebene Folge (an)n reeller Zahlen mit limnan=x betrachten und limnf(an)=0=f(x) nachweisen.

Ich habe diesen Nachweis für den Spezialfall an für alle n geführt.

Da aber f(b)=0 für alle b\ gilt, sollte zumindest anschaulich plausibel sein, dass dann die Aussage limnf(an)=0 auch für beliebige Folgen (an)n reeller Zahlen mit limnan=x folgt.

Man kann dies natürlich auch formal nachweisen.
nuubi

nuubi aktiv_icon

20:22 Uhr, 26.05.2017

Antworten
Beim besten Willen verstehe ich leider immer noch nicht, wie es sein kann, dass die Folge (f(pnqn)) gegen 0 und nicht gegen 1qn konvergiert, wenn (pnqn) eine rationale Folge ist, die gegen 0 konvergiert, wo doch für alle n die Folgenglieder pnqn rational sind und deren Abbildung 1qn ist.
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

21:09 Uhr, 26.05.2017

Antworten
Die Folgen (pnqn)n, die wir gerade betrachten, konvergieren nicht gegen 0, sondern gegen eine irrationale Zahl x.


Jede Folge der Form (f(pnqn))n (wobei alle Brüche in gekürzter Form vorliegen mögen und die Nenner positiv seien und die Folge (pnqn)n gegen eine irrationale Zahl konvergiere) ist nichts anderes als die Folge (1qn)n.

Diese Folge konvergiert nicht gegen einen Wert 1qn für irgendein n (warum sollte sie das tun?), sondern gegen 0, wie ich nachgewiesen habe.

Mal zum Vergleich: Die Folge (1n)n konvergiert ja auch nicht gegen irgendeinen Wert der Form 1n, sondern gegen 0.

Du hast mit Folgendem Recht: WÜRDE die Folge (f(pnqn))n=(1qn)n gegen irgendeinen Wert der Form 1qn konvergieren, so könnte sie nicht gleichzeitig gegen 0 konvergieren.
Aber die Folge (pnqn)n=(1qn)n konvergiert eben nicht gegen einen Wert der Form 1qn.


Noch ein Versuch der Hilfestellung:
Die Folge (1qn)n ist die Folge (1q1,1q2,1q3,1q4,).
Es gibt keine bestimmte Zahl qn, sondern für jede natürliche Zahl n eine Zahl qn.


Klärt diese Darstellung deine Fragen?
(Mir fällt es etwas schwer, eine gute Erklärung zu geben, da mir unklar ist, warum die Folge (1qn)n deiner Meinung nach gegen einen der Werte der Form 1qn konvergieren sollte.)
nuubi

nuubi aktiv_icon

23:03 Uhr, 26.05.2017

Antworten
Ja, die Folge (1qn) konvergiert gegen Null, das verstehe ich.
Jedes Folgenglied 1qn ist doch für alle n
vom Typ pnqn, wobei (pn) die konstante Folge (1) ist, und jedes Folgenglied 1qn
ist auch vollständig gekürzt, darum ist doch f(1qn)=1qn für alle n.

Deshalb dachte ich, dass daraus folgt, dass der Grenzwert der Folge (f(1qn)) gleich 1qn ist
aber je länger ich mir meinen geschriebenen Senf anschaue, umso mehr Zweifel kommen mir auf.

Ich habe hier ein Skript mit zwei Beispielen und dort wird so ähnlich argumentiert.
Da wird zum einen die Unstetigkeit der Dirichletfunktion bewiesen indem eine rationale Folge (xn)
gegen ein irrationales x konvergiert und der Grenzwert von (f(xn)) gleich 1 ist.
Deshalb dachte ich, dass ich auch so argumentieren könne und den Grenzwert von (f(1qn)) gleich 1qn
setzen kann.
Die andere Aufgabe ist eine Funktion von nach mit f(x)=0 für x ungleich 0 und f(x)=1 für x=0.
Da wird eine Nullfolge (an) ohne {0} definiert und argumentiert, dass(f(a_n)) die konstante Folge (0)
ist, also der Grenzwert limes f(an)=0 für n gegen Unendlich.

Diese Denkweise habe ich für die Aufgabe ganz oben übernommen, das scheint ja wohl falsch zu sein. Ich könnte nur dann so argumentieren, wenn (f(1qn)) eine Konstante Folge wäre?

LG
Antwort
tobit

tobit aktiv_icon

08:13 Uhr, 27.05.2017

Antworten
" Ja, die Folge (1qn) konvergiert gegen Null, das verstehe ich. "

Gut. (Natürlich ist dies alles andere als selbstverständlich, aber den Beweis habe ich ja geführt.)
Und die Folge (1qn)n ist ja wegen 1qn=f(pnqn) für alle n nichts anderes als die Folge (f(pnqn))n .
Also konvergiert die Folge (f(pnqn))n=(1qn)n gegen 0.


" Jedes Folgenglied 1qn ist doch für alle n∈ℕ
vom Typ pnqn, wobei (pn) die konstante Folge (1) ist, und jedes Folgenglied 1qn
ist auch vollständig gekürzt, darum ist doch f(1qn)=1qn für alle n. "

Ich sehe zwar keinen besonderen Nutzen in dieser Überlegung, aber sie ist völlig richtig. ;-)


" Deshalb dachte ich, dass daraus folgt, dass der Grenzwert der Folge (f(1qn)) gleich 1qn ist
aber je länger ich mir meinen geschriebenen Senf anschaue, umso mehr Zweifel kommen mir auf. "

Zurecht.
(Jede Folge reeller Zahlen kann nur einen Grenzwert haben.
Welche der Zahlen 1qn für n sollte denn der Grenzwert sein?)


" Ich habe hier ein Skript mit zwei Beispielen und dort wird so ähnlich argumentiert.
Da wird zum einen die Unstetigkeit der Dirichletfunktion bewiesen indem eine rationale Folge (xn)
gegen ein irrationales x konvergiert und der Grenzwert von (f(xn)) gleich 1 ist. "

Hier gilt also f(xn)=1 für alle n.
(f(xn))n ist also die konstante Folge (1)n, die immer den Wert 1 annimmt.
Sie konvergiert in der Tat gegen 1, wie ihr vermutlich kurz nach Einführung von Konvergenz von Folgen bewiesen habt.


" Deshalb dachte ich, dass ich auch so argumentieren könne und den Grenzwert von (f(1qn)) gleich 1qn
setzen kann. "

Nein.
Eine konstante Folge (a)n für a konvergiert stets gegen den Wert a.
Eine beliebige Folge (an)n reeller Zahlen konvergiert im Allgemeinen nicht gegen irgendein an.


" Diese Denkweise habe ich für die Aufgabe ganz oben übernommen, das scheint ja wohl falsch zu sein. Ich könnte nur dann so argumentieren, wenn (f(1qn)) eine Konstante Folge wäre? "

So ist es.
Frage beantwortet
nuubi

nuubi aktiv_icon

12:39 Uhr, 28.05.2017

Antworten
"Jede Folge reeller Zahlen kann nur einen Grenzwert haben. Welche der Zahlen 1qn für n∈ℕ sollte denn der Grenzwert sein?"

Oh mann, ja, das ist es! Puh, zugegeben, das war eine schwere Geburt, aber jetzt habe ich meinen Denkfehler endlich erkannt! Dank Deiner Hilfe!
Finde ich echt superlieb von Dir, dass Du Dir so viel Mühe gemacht hast, dass Du mir den ausführlichen Beweis gezeigt hast, den ich demnächst versuchen werde zu verstehen, denn jetzt verstehe ich ja erst, was es zu beweisen gibt.
Vielen Dank! :-)