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längenverhältnisse im rechteck

Schüler Maturitätsschule, 10. Klassenstufe

Tags: längenverhältnis

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schiselman

schiselman aktiv_icon

10:57 Uhr, 29.08.2010

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Hallo Liebe Mathefreunde

Bitte helft mir, ich muss diese Aufgabe morgen benotet vor der ganzen Klasse vorlösen und habe keine Ahnung über einen Lösungsweg. Könntet ihr deswegen vielleicht den ganzen Lösungswege angeben, das wäre super

Also zuerst einmal habe ich noch keine lösungsansätze, da ich no keinen ansatz gefunden habe diese Aufgabe anzugehen.

Hier die Aufgabenstellung:

Die Längenmasse eines Bilderrahmens haben die folgende Eigenschaft: Die kleinere Seite verhält sich zur grösseren wie die grössere zur Diagonalen. Berechnen Sie das Längenverhältnis

v : 1

der kleineren Seite zur grösseren. Geben sie

v

sowohl als Term mit Wurzeln als auch als Dezimalbruch an

(4

Nachkommastellen).

Vielen Dank schon im voraus

Online-Nachhilfe in Mathematik

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Shipwater

Shipwater aktiv_icon

11:21 Uhr, 29.08.2010

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Hallo,

a seie die kleinere Seite des Rechtecks und

b

seie die größere Seite des Rechtecks. Die Diagonale des Rechtecks ist dann

\sqrt{a^{2} + b^{2}}

lang, was man mit dem Satz des Pythagoras berechnen kann. Gemäß Voraussetzung soll nun gelten:

\frac{a}{b} = \frac{b}{\sqrt{a^{2} + b^{2}}}

Wenn man quadriert erhält man:

\frac{a^{2}}{b^{2}} = \frac{b^{2}}{a^{2} + b^{2}}

a^{2} (a^{2} + b^{2}) = b^{4}

a^{4} + a^{2} b^{2} - b^{4} = 0

Substitution

z = a^{2} :

z^{2} + z b^{2} - b^{4} = 0

z_{1,2} = - \frac{b^{2}}{2} \pm \sqrt{\frac{b^{4}}{4} + b^{4}}

z_{1,2} = - \frac{b^{2}}{2} \pm \frac{\sqrt{5}}{2} b^{2}

z_{1} = \frac{- b^{2} + \sqrt{5} b^{2}}{2} = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} b^{2}

z_{2} = \frac{- b^{2} - \sqrt{5} b^{2}}{2} = - \frac{\sqrt{5} + 1}{2} b^{2} (z_{2}

fällt weg, da negativ)
Resubstitution:

\frac{\sqrt{5} - 1}{2} b^{2} = a^{2} \Leftrightarrow \pm \sqrt{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})} b = a_{1,2}

Auch hier entfällt das negative Ergebnis, so dass bleibt

a = \sqrt{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})} b

Ersetzt man dies nun in

\frac{a}{b}

erhält man das gewünschte Verhältnis:

\frac{\sqrt{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})} b}{b} = \frac{\sqrt{(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}}{1} \approx \frac{0,7862}{1}

Einen einfacheren Weg sehe ich gerade nicht.

schiselman

schiselman aktiv_icon

12:00 Uhr, 29.08.2010

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Vielen vielen vielen Dank

Jedoch kann ich momentan deine Überlegungen nach der subtitution nicht ganz nachvollziehen mit

Z 1,

und so weiter

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Shipwater

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12:02 Uhr, 29.08.2010

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Ich habe die pq-Formel angewandt.

schiselman

schiselman aktiv_icon

12:32 Uhr, 29.08.2010

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Nur noch eine kleine Frage:
Wie bist du von z1,2=-b22±b44+b4 auf z1,2=-b22±52b2 gekommen?

Antwort

Shipwater

Shipwater aktiv_icon

12:35 Uhr, 29.08.2010

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\sqrt{(\frac{b^{4}}{4} + b^{4})} = \sqrt{(\frac{b^{4}}{4} + \frac{4 b^{4}}{4})} = \sqrt{(\frac{b^{4} + 4 b^{4}}{4})} = \sqrt{(\frac{5 b^{4}}{4})} = \frac{\sqrt{5 b^{4}}}{\sqrt{4}} = \frac{\sqrt{5} \cdot \sqrt{b^{4}}}{2} = \frac{\sqrt{5}}{2} b^{2}

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