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partielle Ableitung + Gradientenvektor

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Gradient, mehrdimensionale Analysis

 
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potu1304

potu1304 aktiv_icon

16:36 Uhr, 15.05.2015

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Hallo!
Ich würde von folgenden beispielen nur gerne die Lösung wissen, bzw ob meine Ergebnisse richtig sind. Gefragt ist: Berechnen Sie die partiellen Ableitungen und bilden Sie den Gradientenvektor.

a.)f(x,y)=cos(x,y)
f'x(x,y)=-siny
f'y(x,y)=-sinx

grad f(x,y)=(-siny-sinx)

b.)f(x,y)=sinxcosy-sinycosx
f'x(x,y)=cosx+sinx
f'y(x,y)= -siny +cosx

grad f(x,y)=(cosx+sinx-siny+cosx)

c.)f(x,y,z)=exyz
f'x(x,y,z)=yzexyz
f'y(x,y,z)=xzexyz
f'z(x,y,z)=xyexyz

d.)f(x1,x2,x3)=x1x2+x3
f'x1(x1,x2,x3)=x2+x3
f'x2(x1,x2,x3)=1+x3x1x2+x3
f'x3(x1,x2,x3)=1+x2x1x2+x3

Vor allem bei d bin ich mir komplett unsicher.


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
ledum

ledum aktiv_icon

01:20 Uhr, 16.05.2015

Antworten
Hallo
a)cos(x,y) ist keine definierte Funktion. Wenn es cos(xy) ist sind die Ableitungen falsch.
b) ist falsch z.B. x(cos(x)sin(y))=-sin(x)sin(y)
c) richtig
d) sehr falsch wie differenzierst du xa, wie ax
die jeweils nicht differenzierten behandelst du wie Konstanten a.
Hinweis zu ax=eln(a)x
Gruß ledum
potu1304

potu1304 aktiv_icon

09:26 Uhr, 19.05.2015

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Hier nochmal die überarbeiteten Ergebnise:

a.)f'x(x,y)=-sinxyy
f'y(x,y)=-sinxyx

b.)f'x(x,y)=cosxcosy- msin xsiny
f'y(x,y)=-sinysinx-cosycosx

d.) Da bräuchte ich Hilfe, da weiß ich nicht genau weiter. Heißt das dann x1x2+x3=eln(x1)(x2+x3)? Falls ja, bin ich mir nicht sicher, wie ich das Ableite.
Antwort
DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

16:23 Uhr, 21.05.2015

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x1x2+x3=e(x2+x3)ln(x1), daher

fx1=x2+x3x1e(x2+x3)ln(x1),

fx2=ln(x1)e(x2+x3)ln(x1),

fx3=ln(x1)e(x2+x3)ln(x1).

potu1304

potu1304 aktiv_icon

19:31 Uhr, 21.05.2015

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Super, vielen Dank!
Damit ich keinen extra Thread aufmachen muss frage ich gleich hier:
Jacobimatrix von: f(x1,x2,x3)=(x1x2x3sin(x1x2x3))
ist
f=(x2x32+(x1x2x3)x1x32+(x1x2x3)x1x22+(x1x2x3)x2x3cosx1x2x3x1x3cosx1x2x3x1x2cosx1x2x3)

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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

21:05 Uhr, 21.05.2015

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Warum 2+? Es soll 2 sein (im Nenner der ersten Zeile).
potu1304

potu1304 aktiv_icon

23:56 Uhr, 21.05.2015

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Sorry, das ist gleich 3mal ein TIpp Fehler, bei allen gehört 2(... . Aber dann stimmt es?
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

07:23 Uhr, 22.05.2015

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Dann ja.
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