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partikuläre Lösung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen

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23:44 Uhr, 30.07.2010

Hallo, ich habe Schwirigkeiten mit partikulärer Lösung des inhomogenen Systems und würde mich über jede Hilfe freuen.

Kann man den Ansatz im gelbmarkiertem Bereich einer Formelsammlung entnehmen oder wie kommt man drauf? Und wie genau kommt man auf das Ergebnis in dem grünmarkiertem Bereich?
Aufgabe (siehe Anhang

1),

Teillösung (siehe Anhang

2)

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00:49 Uhr, 31.07.2010

Wenn du dir mal die Gleichungen für x1' und x2' anschaust, kann man sich leicht überlegen, dass x1=Ae^t und x2=Be^t eine sinnvolle Wahl ist, denn damit kann man auf den jeweiligen linken und rechten Seiten einen schönen Koeffizientenvergleich machen.

Zur Erinnerung:

x1'=2x1+4x2+3e^t

x2'=-5x1-10x2-6e^t

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14:01 Uhr, 31.07.2010

Danke für die Antwort, ich versuche es einfach mal ob ich alles richtig verstanden habe?
Ich muss also zuerst

x_{1}

und

x_{2}

bestimmen.

In explizite Gestalt gebracht lautet das DGL-System:

x_{1}' = 2 x_{1} + 4 x_{2} + 3 e^{t}

x_{2}' = - 5 x_{1} - 10 x_{2} - 6 e^{t}

in Matrixform:

(\begin{matrix} x_{1}' \\ x_{2}' \end{matrix}) = (\begin{matrix} 2 & 4 \\ - 5 & - 10 \end{matrix}) \cdot (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \end{matrix}) + 3 e^{t} (\begin{matrix} 1 \\ - 2 \end{matrix})

Zur Bestimmung der allgemeinen Lösung der homogenen DGL müssen die
Eigenwerte

x_{1}

und

x_{2}

der Matrix berechnet werden:

| \begin{matrix} 2 - λ & 4 \\ - 5 & - 10 - λ \end{matrix} | = λ^{2} + 8 λ = 0 \to λ_{1} = 0, λ_{2} = - 8

Die allgemeine Lösung des homogenen Systems lautet also:

x_{1} = C_{1} \cdot e^{0} + C_{2} \cdot e^{- 8}

x_{1}' = C 1 - 8 C_{2} \cdot e^{- 8}

x_{2}

wird folgendermaßen bestimmt:

x_{2} = \frac{1}{4} (x'_{1} - 2 \cdot x_{1})

\to

x_{2} = \frac{1}{4} (C 1 - 8 C_{2} \cdot e^{- 8} - 2 \cdot (C_{1} + C_{2} \cdot e^{- 8}))

also

x_{1} = C_{1} + C_{2} \cdot e^{- 8}

x_{2} = \frac{1}{4} (C 1 - 8 C_{2} \cdot e^{- 8} - 2 \cdot (C_{1} + C_{2} \cdot e^{- 8}))

und jetzt
x1=Ae^t und x2=Be^t setzen und Koeffizientenvergleich machen.

Ist alles soweit korrekt?

Gruß

BjBot aktiv_icon

14:36 Uhr, 31.07.2010

Eigentlich meinte ich, dass man direkt in die obigen zwei Gleichungen in meinem Beitrag mit x1=Ae^t und x2=Be^t ansetzt.
Dann hat man mit x1=x1'=Ae^t (beim Ableiten verändert sich hier nichts):

Ae^t=2Ae^t+4Be^t+3e^t <=> Ae^t-2Ae^t-4Be^t=3e^t <=> (-A-4B)e^t=3e^t ---> -A-4B=3

Analog geht es bei der Gleichung für x2' und damit hat man dann ein LGS mit 2 Gleichungen und 2 Unbekannten.

capablanca aktiv_icon

15:14 Uhr, 31.07.2010

Danke für die Tipps, ich habe jetzt die richtige Lösung raus.

Lg

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