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quadratische Betragsungleichung

Universität / Fachhochschule

Tags: Betragsungleichung

Derfloz aktiv_icon

23:46 Uhr, 22.10.2016

Guten Abend,

ich löse gerade eine quadratische Betragsungleichung:

| 5 \cdot {(x - 2)}^{2} - 4 | \leq | x |

In der Aufgabenstellung wird auf die analytische Lösung von 4 Fällen hingewiesen.

Zunächst habe ich die Ungleichung aufgelöst und bin bei

5 x^{2} - 21 x + 16 \leq 0

gelandet.
Durch die Anwendung der ABC-Formel bin ich dann auf die Lösung

1 \leq x \leq \frac{16}{5}

gekommen.
Laut einem Online Rechner ist das auch das Richtige Ergebnis, allerdings habe ich Probleme die anderen Fälle zu definieren.

Vielen Dank im Voraus für eure Hilfe!

Einen schönen Abend noch!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Roman-22

00:59 Uhr, 23.10.2016

>

Zunächst habe ich die Ungleichung aufgelöst und bin bei 5x2-21x+16≤0 gelandet.
Toll! Das da jede Seite der Ungleichung von so hübschen senkrechten Strichen eingerahmt war, hat dich offenbar nicht daran gehindert - die hast du einfach ignoriert.

>

Laut einem Online Rechner ist das auch das Richtige Ergebnis
Wirklich? Dann setze in deine ursprüngliche Ungleichung einmal den Wert

x = 2

ein, der ja deiner Meinung nach zur Lösungsmenge gehört.

>

allerdings habe ich Probleme die anderen Fälle zu definieren.
Die "anderen Fälle" ? Du hast ja bisher noch nicht mal einen einzigen Fall behandelt. Du hast dir ja noch gar nicht überlegt, welche Fälle du berücksichtigen musst. Bevor du das nicht machst, hat es wenig Sinn, quadratische Gleichungen aufzustellen und zu lösen.

Du hast zwei Beträge in deiner Angabe, also wie viele Fälle musst du berücksichtigen und wie lauten diese?

R

Derfloz aktiv_icon

11:49 Uhr, 23.10.2016

Danke erst einmal für die Antwort.
Die Fälle dürften so aussehen oder?
1.

5 {(x - 2)}^{2} - 4

≥ 0 und

x

≥ 0

2.

5 {(x - 2)}^{2} - 4 \geq 0

und

x < 0

5 {(x - 2)}^{2} - 4 < 0

und

x

≥ 0

4.

5 {(x - 2)}^{2} - 4 < 0

und

x < 0

Atlantik aktiv_icon

12:29 Uhr, 23.10.2016

| 5 \cdot {(x - 2)}^{2} - 4 | \leq | x |

{\sqrt{5 \cdot {(x - 2)}^{2} - 4}}^{2}) \leq \sqrt{x^{2}} |^{2}

{(5 \cdot {(x - 2)}^{2} - 4)}^{2} \leq x^{2}

{(5 \cdot x^{2} - 20 x + 16)}^{2} \leq x^{2}

Mit Wolfram:

25 x^{4} - 200 x^{3} + 560 x^{2} - 640 x + 256 \leq x^{2}

25 x^{4} - 200 x^{3} + 559 x^{2} - 640 x + 256 \leq 0

(x - \frac{16}{5}) (x - 1) (x^{2} - \frac{19}{5} x + \frac{16}{5}) \leq 0

x_{1} = \frac{16}{5} = 3,2

x_{2} = 1

x^{2} - \frac{19}{5} x = - \frac{16}{5}

{(x - \frac{19}{10})}^{2} = - \frac{16}{5} + \frac{361}{100} = - \frac{320}{100} + \frac{361}{100} = \frac{41}{100}

x_{3} = \frac{19}{10} + \frac{1}{10} \sqrt{41} \approx 2,54

x_{4} = \frac{19}{10} - \frac{1}{10} \sqrt{41} \approx 1,26

. .

.

mfG

Atlantik

Derfloz aktiv_icon

13:02 Uhr, 23.10.2016

Danke Atlantik.
Also ist die Lösungsmenge

1 \leq x \leq 1,26

und

2,54 \leq x \leq \frac{16}{5}

.

Sind die vier von mir aufgestellten Fälle denn korrekt?

abakus

13:35 Uhr, 23.10.2016

Hallo Derfloz,
da hast die 4 zu betrachtenden Fälle richtig aufgestellt.

Ich möchte dich aber darauf hinweisen, dass die Lösung von Atlantik teilweise am Ende nur (zum Teil schlechte) Näherungswerte von Intervallgrenzen angibt.
Außerdem weißt du bisher nicht, ob die von dir angegebenen Intervalle nun gerade die Lösungsintervalle oder die Nicht-Lösungsintervalle sind.
Du kannst dir auch solche Feinheiten wie die Unterscheidung von

x < 1, 26

und

x \leq 1, 26

ersparen, wenn 1,26 sowieso nicht die exakte Intervallgrenze ist.
Zwischen 1,26 und

1, 9 - \frac{\sqrt{41}}{10}

liegen noch unendlich viele reelle Zahlen, die du bei der Wahl des Näherungswertes für die Intervallgrenze entweder unberechtigt mit einschließt oder unberechtigt ausschließt.

Derfloz aktiv_icon

14:22 Uhr, 23.10.2016

Auch dir danke. Ja, das hatte ich nicht vor, da ich keinen Taschenrechner benutzen darf.
Könnte mir jemand sagen, wie ich das jetzt ausrechne?

Roman-22

17:53 Uhr, 23.10.2016

>

Könnte mir jemand sagen, wie ich das jetzt ausrechne?
?? Warum willst du es ausrechnen. Noch dazu, wo du ohnedies keinen TR benutzen sollst.
Lass doch den Ausdruck mit Brüchen und Wurzel einfach so stehen.

Zu deiner anderen Frage

>

Die Fälle dürften so aussehen oder?
Ja, genau so sehen sie aus und wenn einem nichts Vereinfachendes einfällt, kann man in jedem Fall alle diese vier Fälle einfach runterrechnen.

Du hattest das für den ersten Fall schon erledigt

> 1

5 (x - 2) 2 - 4

≥ 0 und

x

≥ 0
allerdings ohne anzugeben, dass deine Rechnung nur für diesen Fall gültig ist. Nur wenn beide Ausdrücke in den Beträgen positiv sind, darfst du die Betragsstriche einfach weglassen
Dein Ergebnis war

1 \leq x \leq \frac{16}{5}

und ich hoffe, dass du dir auch wirklich überlegt hast, dass der Bereich zwischen den beiden Nullstellen der richtige ist und nicht die beiden Bereiche links bzw. rechts davon.
Allerdings ist diese ganze Rechnung nur gültig für

1) x \geq 0,

das ist kein Problem bei dem Bereich

[1; \frac{16}{5}]

und

2) 5 \cdot {(x - 2)}^{2} - 4 \geq 0,

und das musst du dir noch genauer ansehen, denn das bedeutet konkret

0 \leq x \leq 2 - \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}

oder

x \geq 2 + \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}

Damit hast du zunächst (nur im Fall

1)

nur jene

x

als Lösung, die beide Bedingungen (die von deiner Fallunterscheidung und die von deiner Lösung) erfüllen.
Das wäre hier also

L_{1} = [1; 2 - \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}] \cup [2 + \frac{2 \cdot \sqrt{5}}{5}; \frac{16}{5}]

Ähnlich müsstest du dann noch in den anderen drei Fällen verfahren und dann alle Teillösungen zusammenfassen. Dabei stellst sich dann heraus, dass diese Ausdrücke

2 \pm \frac{2}{\sqrt{5}}

keine Grenzen für die Gesamtlösung mehr darstellen und die Gesamtlösung eben

L = [1; \frac{19 - \sqrt{41}}{10}] \cup [\frac{19 + \sqrt{41}}{10}; \frac{16}{5}]

ist.
Durch das Quadrieren hat sich Atlantik diese im Endeffekt nicht zum tragen kommenden Grenzen erspart, sich aber dafür ein Polynom vierten Grades eingehandelt, welches er nur mit Onkel Wolframs Hilfe zu faktorisieren imstande war.
Ich gehe mal davon aus, dass du, nachdem du ja auch keinen TR verwenden darfst, auch Onkel Wolfram nicht befragen sollst ;-)
Außerdem wird in der Aufgabenstellung wohl nicht ohne Grund auf die vier Fälle hingewiesen.

Abgesehen davon: Wenn schon Wolfram, dann gleich komplett - siehe Anhang.

R

Derfloz aktiv_icon

18:27 Uhr, 23.10.2016

Danke an dich Roman, und an alle anderen.
Wir sollten laut Aufgabe unser Ergebnis mit "Onkel Wolfram" vergleichen.

Hab's gecheckt ;-)

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