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quadratische Formen und Definitheit

Universität / Fachhochschule

Tags: Definitheit, quadratische Form, Quadrik

Tami91 aktiv_icon

22:30 Uhr, 26.01.2012

Hey Leute, ich hoff ihr könnt mir helfen... (AUFGABE SIEHE BILD)

Hier meine Ergebnisse:

a) a x_{1}^{2} + 2 b x_{1} x_{2} + a x_{2}^{2}

b)

Matrix:

(\begin{matrix} a & b \\ b & a \end{matrix})

λ_{1} = a + \frac{b}{2}

λ_{2} = a - \frac{b}{2}

c)

soll ich in die matrix für

a 1

und für

b 2

einsetzen? Das habe ich gemacht und folgendes raus:

λ_{1} = 3; λ_{2} = - 1

ist also indefinit

d)

bin nicht so der held für fallunterscheidungen... hab für

a > \frac{b}{2}

positiv definit
für

a \leq \frac{b}{2}

und

\frac{b}{2} > 0

indefinit und für

a \leq \frac{b}{2}; b \leq 0

negativ definit

stimmt das so? mir kommt das nämlich echt wenig vor...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

13:38 Uhr, 28.01.2012

Ich komme auf die Eigenwerte

a \pm b,

nichts mit

\frac{b}{2}

(hast du bei

c

offenbar auch benutzt).
Bei

d

allerdings gehst du wohl wieder von den falschen Eigenwerten aus.
Beachte auch den Unterschied zwischen negativ definit und negativ semidefinit!

Tami91 aktiv_icon

15:06 Uhr, 28.01.2012

ganz so genau muss ichs nicht unterscheiden, aber danke, hab meinen rechenfehler gefunden.

hab jetzt auch

λ_{1} = a + b

und

λ_{2} = a - b

und ca 7 fallunterscheidungen... das muss doch auch anders gehen oder?

hagman aktiv_icon

20:33 Uhr, 28.01.2012

Wieso denn soviele Fallunterschiedungen?
Positiv definit

\Leftrightarrow

beide Eigenwerte sind positiv

\Leftrightarrow a + b > 0

und

a - b > 0

Negativ definit

\Leftrightarrow

beide Eigenwerte sind negativ

\Leftrightarrow a + b < 0

und

a - b < 0

Indefinit sonst.
In einem Koordinatensystem entsprechn die Bedingungen

a + b = 0

und

a - b = 0

Geradengleichungen für die beiden Hauptdiagonalen. Diese teilen die Ebene in vier Gebiete. Das obere Gebiet entspricht den positiv definiten, das untere den negativ definiten, der Rest (also die anderen beiden Gebiete zusammen mit den beiden Diagonalen) indefinit

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