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steilsten Abstieg bestimmen für Fkt mit 2 Var

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Differentiation

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sabsi

08:58 Uhr, 17.04.2024

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Hey,

Ich soll für die Funktion

f (x, y) = 120 - 2 x^{2} - 4 y^{2}

den steilsten Abstieg im Punkt (2,-1) finden.
Zusätzlich ist dann noch gefragt wie steil der Abstieg ist.

-----------------------------

Meine Idee zum 1. Teil der Aufgabe: Der Gradient zeigt ja in Richtung steilster Anstieg, also zeigt -Gradient in Richtung steilster Abstieg.

\nabla f (x, y) = (- 4 x, - 8 y)

also

- \nabla f (x, y) = (4 x, 8 y)

somit ist die Richtung des steilsten Abstiegs hier

\nabla f (2, - 1) = (8, - 8)

soweit korrekt?

Wie bestimme ich nun aber den Winkel des Abstieges? mit der Richtungsableitung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

Antwort

KartoffelKäfer

KartoffelKäfer aktiv_icon

12:46 Uhr, 17.04.2024

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Deine Idee scheint mir ganz sinnvoll.

Mit

v = (8, - 8)

ist dann

\partial_{v} f (2, - 1) = \nabla f (2, - 1) \cdot v = (- 8,8) \cdot (8, - 8) = - 128

die entsprechende Richtungsableitung.

Den Steigungswinkel von

f

im Punkt

(2, - 1)

in Richtung

v

würde ich dann mit

a r c t a n (- 128) \approx - 1.5629839857347955079348582 \approx - 89,55

°

angeben.

Antwort

HAL9000

13:58 Uhr, 17.04.2024

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@KartoffelKäfer

Da fehlt eine Wurzel...

----------------------------------

Ist

f

im Punkt

x_{0}

total differenzierbar, so gilt für Richtung

v

und kleine reelle

h

f (x_{0} + h v) = f (x_{0}) + h v \cdot \nabla f (x_{0}) + o (h)

.

Steigung in Richtung

v

ist dann

m = \frac{f (x_{0} + h v) - f (x_{0})}{h ∥ v ∥} = \frac{v}{∥ v ∥} \cdot \nabla f (x_{0}) + o (1)

,

der Landauterm

o (1)

verschwindet im Grenzwert

h \to 0

.

Speziell für

v = - \nabla f (x_{0})

ergibt sich

m = - ∥ \nabla f (x_{0}) ∥

, im vorliegenden Fall also

m = - \sqrt{128} = - 8 \sqrt{2}

und damit Winkel

- 84, 9 5^{\circ}

.

Antwort

KartoffelKäfer

KartoffelKäfer aktiv_icon

14:58 Uhr, 17.04.2024

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Ja, besagter Steigungswinkel ist

a r c t a n (\frac{\partial_{v} f (2, - 1)}{| v |}) = a r c t a n (- \frac{128}{\sqrt{128}}) = a r c t a n (- \sqrt{128})

\approx - 1,482637084160548671026418 \approx - 84,95

° , Danke.

Frage beantwortet

sabsi

08:13 Uhr, 19.04.2024

Antworten

Danke :-)

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