Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online
Startseite » Forum » t so bestimmen, daß a + tb senkrecht auf c steht

t so bestimmen, daß a + tb senkrecht auf c steht

Universität / Fachhochschule

Vektorräume

Tags: orthogonal, senkrecht, Vektorraum

 
Antworten Neue Frage stellen Im Forum suchen
Neue Frage
Klinger

Klinger aktiv_icon

18:34 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Hallo OnlineMathe,
ich sitze seit einer Stunde an folgender Aufgabe:
Gegeben sind die drei Vektoren a,b und c.
Bestimmen Sie t so, daß der Vektor a+tb senkrecht auf c steht.

Ich weiß, daß das Skalarprodukt von (a+tb) und c Null ergeben muss.
Ich komme nicht weiter als
(ax1+tbx2)
(ay1+tby2)c=0
(az1+tbz2)

Denkt Euch bitte 2 große Klammern statt 6 kleiner. Ich habe nicht herausgefunden, wie das geht. :-)


2015-11-28 18.32.00-2

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
Antwort
abakus

abakus

18:44 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Schreibe das Skalarprodukt in der Gleichung komplett aus:
...*... + ...*... + ...*...=0
multipliziere alles aus und klammere t (da, wo es vorhanden ist) aus.
Stelle dann nach t um.

PS: Was sollen die ganzen x1, y1, z1 usw in deiner Rechnung?
Der erste Vektor enthält die drei Zahlen a1, a2, a3 und fertig. Auch in den übrigen Vektoren haben x, y und z nichts zu suchen.
Klinger

Klinger aktiv_icon

19:35 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Das sähe dann so aus:
a1c1+tb1c1+a2c2+tb2c2+a3c2+tb3c3=0
daraus wird t(b1c1+b2c2+b3c3)+a1c1+a2c2+a3c3=0

Soweit richtig?

Nach t umgestellt sieht das so aus:
t=-a1c1-a2c2-a3c3b1c1+b2c2+b3c3

Ist das richtig?
Antwort
Respon

Respon

19:55 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Interpretiere jetzt Zähler und Nenner als skalares Produkt.
Klinger

Klinger aktiv_icon

20:01 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Das verstehe ich leider nicht. Wie ist das gemeint?
Antwort
Respon

Respon

20:05 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Sei z.B.
a=(a1a2a3)  und  c=(c1c2c3)

ac=(a1a2a3)(c1c2c3)=a1c1+a2c2+a3c3
... und vergleiche.
Antwort
abakus

abakus

20:17 Uhr, 28.11.2015

Antworten
AUA!
dass ich das nicht gesehen habe...
So wird es ja noch einfacher.
Allerdings bin ich auch pessimistisch bezüglich des möglichen Vorwissens an die Beantwortung gegangen.
Wenn man weiß, dass auch für die Skalarmultiplikation das Distributivgesetz gilt, geht das wesentlich kürzer:
(a+tb)c ist nämlich gleich ac+tbc ,
und die Gleichung ac+tbc=0
lässt sich wesentlich schneller nach t auflösen.

Klinger

Klinger aktiv_icon

20:20 Uhr, 28.11.2015

Antworten
t=-a1c1-a2c2-a3c3b1c1+b2c2+b3c3

t=-(a1a2a3)(c1c2c3)(b1b2b3)(c1c2c3)

Ich vermute, das kann man kürzen. Übrig bleibt:

t=-(a1a2a3)(b1b2b3)

Wenn ich raten müsste, würde ich sagen, am Ende kommt folgendes heraus:

t=-(a1b1)-(a2b2)-(a3b3)

So richtig?
Antwort
Respon

Respon

20:26 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Deine Vermutung ist leider falsch.
VEKTOREN !
Klinger

Klinger aktiv_icon

20:48 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Danke, der Tip mit dem Distributivgesetz hat geholfen.
ac+tbc=0

t=-acbc

Ist das das Endergebnis? Das hatte ich grade auch schon mal. Bevor ich gekürzt hatte. :-)
Antwort
Respon

Respon

20:50 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Du kannst ja die Probe machen !
Antwort
Respon

Respon

20:52 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Du kannst nicht kürzen.
Klinger

Klinger aktiv_icon

20:52 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Meine Familie hat heute 8 Stunden tapfer auf mich verzichten müssen, in denen ich Mathe gemacht habe. Nun ist grade Werbepause. Könntest Du mir einfach verraten, ob das so richtig ist?
Antwort
Respon

Respon

20:53 Uhr, 28.11.2015

Antworten
t=-acbc
Antwort
abakus

abakus

20:54 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Werbepause?

Diese Antwort wird Ihnen präsentiert von


KROMBACHER:



Ja.
Antwort
Roman-22

Roman-22

20:59 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Dann wollen wir mal hoffen, dass a und b nicht linear abhängig sind.

R

Antwort
abakus

abakus

21:07 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Touché!
Antwort
Roman-22

Roman-22

21:13 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Naja, da müssten wir halt erklären, dass der Winkel zwischen dem Nullvektor (denn genau den erhalten wir bei kollinearen Vektoren a und b ja mit a+tb) und einem beliebigen anderen Vektor eben nicht undefiniert sondern beliebig, also auch 90, ist ;-)
Tut ein bisschen weh - besser natürlich, wir verbieten einfach die Kollinearität von a und b.

R

Frage beantwortet
Klinger

Klinger aktiv_icon

21:17 Uhr, 28.11.2015

Antworten
Danke an alle!
@ Respon: Das mit dem Kürzen habe ich beim 2. Ansatz ja auch gelassen. :-)
Frage beantwortet
Klinger

Klinger aktiv_icon

01:34 Uhr, 29.11.2015

Antworten
Frage: Wenn a und b linear abhängig sind, dann gibt es keine Lösung, oder? Dann sind sie parallel oder kollinear, egal, welchen Wert t annimmt.
Antwort
Roman-22

Roman-22

02:19 Uhr, 29.11.2015

Antworten
> Frage: Wenn a→ und b→ linear abhängig sind, dann gibt es keine Lösung, oder? Dann sind sie parallel oder kollinear, egal, welchen Wert t annimmt.

Ja, genau. Dann ist ja b bereits ein Vielfaches von a.
Wenn dann c nicht bereits normal zu a ist, dann ist die einzige Möglichkeit, dass (a+tb)c=0 ist, wenn (a+tb)=0 ist.
Somit gibt es keine Lösung für t.

Ist aber c normal zu a und b=λa, dann ist jedes beliebige t eine gültige Lösung.