trigonom. Gleichung -> Lösungen bestimmen

Morgen :)!

Habe folgende Aufgabestellung:

Bestimmen Sie sämtliche reellen Lösungen der folgenden trigonom. Gleichung:

sin(2x+5)=0,4

Wie gehe ich bei sowas vor?

Hallo,

Im Intervall ${\displaystyle [0,2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$ ist sin(z) nur an 2 Stellen 0.4.

$$\begin{gathered} {\displaystyle \mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\left(\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\right)=0,4 \\ \Rightarrow \mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}={\mathrm{sin<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}^{-1}0,4\approx \mathrm{23.578...}} \end{gathered}$$

Bei Betrachtung des Funktionsgraphen f(z)=sin(z) ist die andere Stelle 180°-23.578°.

Nun ist ${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\approx 23.578\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\approx }0.411}$ und ${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2\approx 156.422\mathrm{°<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\stackrel{\mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{A<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{D<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{\approx }2.73}$

Nun ist ${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+5}$ und ${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+5}$.

Bevor du nun nach x1 und x2 auflöst, muss dir klar sein, dass sich sin(z)=0.4 nach allen 2*pi*n wiederholt:

Also gibt es die Lösungen:

${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+5)+2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und ${\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+5)+2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ mit ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

$$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1+5) \\ \iff \frac{{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1-5-2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1} \end{gathered}$$ und $$\begin{gathered} {\displaystyle {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=(2{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2+5) \\ \iff \frac{{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-5-2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}={\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2} \end{gathered}$$

Wobei z1 und z2 ja bekannt sind.

Für das Intervall ${\displaystyle [0,2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}]}$ stehen in den Lösungen für x1 und x2 n=0.

Für alle anderen Bereiche gilt:

${\displaystyle \mathrm{L<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\{\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{R<mspace\; width="0.12em"></mspace>},\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}|\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}=\frac{{\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1\vee {\mathrm{z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2-5-2\mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}{2}\}}$

Hoffe, dass dir das zunächst hilft.

mfG Giles

Ohkay...danke:)...das war jetzt krasser als ich erwartet habe...

Also...die Lösung bei mir im Buch lautet:

${\displaystyle {\mathbb{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_{}}$

Das schaut ja bissl anders aus als Deine Lösung...was muss ich machen damit das wie hier aussieht, ist das nur ne Umformgeschichte oder hab ich was nicht kapiert oder beides:)?!

Hmm.. musste nuch doch noch einmal nach schauen...

Meine Lösungsmenge lässt sich dann umschreiben als:

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_1=\frac{0.411-5}{2}-\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-2.2945-\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ für alle ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ und

${\displaystyle {\mathrm{x<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}_2=\frac{2.73-5}{2}-\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}=-1.135-\mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\cdot \mathrm{\pi <mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ für alle ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$.

Bei mir steht nun Minus an Stelle von Plus.

Das ist aber egal da wegen ${\displaystyle \mathrm{n<mspace\; width="0.12em"></mspace>}\in \mathrm{Z<mspace\; width="0.12em"></mspace>}}$ die Vorzeichen analog umgedreht werden können.

das passt dann ja wieder.

Chacka! Vielen Dank Giles!

Wünsche einen schönen....Morgen mittlerweile ;)!