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Vektorräume

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marc-mathe

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20:26 Uhr, 14.12.2007

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Hi

Sei V={f|f ist eine Funktion von [0,oo) nach IR}. für f,g V und r I R definieren wir eine Addition und Skalarmultiplikation:

(f+g)(x) = f(x)+g(x) und (rf)(x)=r(f(x)).

Dadurch wird V zu einem IR-Vektorraum.
Welche folgenden Teilmengen von V seind Unterrräume von V ?

a) V1={f|f V,f(0)=2}
b) V2={f|f V,|f(x)|<=4 für alle x [0,oo)}
c) V3={f|f V, f beschränkt}
d) V4={f|f V, f bijektiv}
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Rentnerin

Rentnerin

22:51 Uhr, 14.12.2007

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Hallo marc-mathe,



die Nullfunktion (f(0) = 0 für alle x aus [0,oo)) muss in einem UVR enthalten sein!



zu a)

die Nullfunktion ist nicht enthalten ==> V_1 ist kein UVR



zu b)

f(x) = 4 für alle x ist in V_2, aber 2*f(x) = 8 ist nicht in V_2 ==> V_2 ist kein UVR



zu c)

mit f und g aus V_3, dann gibt es s_1>0 mit |f(x)| 0 mit |g(x)| V_3 ist UVR



zu d)

die Nullfunktion ist nicht bijektiv ==> V_4 ist kein UVR





Gruß Rentnerin
marc-mathe

marc-mathe aktiv_icon

09:24 Uhr, 15.12.2007

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könntest du c.) etwas näher erläutern ?



Danke

Marc
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Rentnerin

Rentnerin

16:53 Uhr, 15.12.2007

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Sorry,



ich habe gar nicht bemerkt, dass die Antwortsoftware einen Großteil von c) verschluckt hat. Das was übrig geblieben ist, macht ja überhaupt keinen Sinn. Also nochmal!



zu c)

Sind f und g zwei beschränkte Funktionen aus V_3; dann gibt es Schranken s_1 für f und s_2 für g mit folgenden Eigenschaften:



|f(x)| < s_1 für alle x aus dem Definitionsbereich



|g(x)| < s_2 für alle x aus dem Definitionsbereich.



Setze s = s_1 + s_2, dann gilt für alle x aus dem Definitionsbereich



|f(x) + g(x)| <= |f(x)| + |g(x)| < s_1 + s_2 = s (Dreiecksungleichung!).



Damit ist f + g ebenfalls beschränkt und somit in V_3.



Ist f beschränkt und k aus R, dann gibt es eine Schranke s_1 für f, also



|f(x)| < s_1 für alle x aus dem Definitionsbereich.



Setze s = |k| * s_1, dann gilt für alle x aus dem Definitionsbereich



|k * f(x)| = |k| * |f(x)| < |k| * s_1 = s.



Damit ist k * f beschränkt, also k * f aus V_3.



Damit ist V_3 UVR von V.



Gruß Rentnerin
marc-mathe

marc-mathe aktiv_icon

18:59 Uhr, 15.12.2007

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ok, jetzt machts sinn

hab hier noch drei:

e) V_5={f|f V, f(x)=0 nur für endlich viele x [0,oo)}.
Ist doch sich ein UVR, da f(x)=0 für alle x in V_5, und m*f(x)=0 ist auch in V_5,
oder ?
f) V_6={f|f V, f ist differenzierbar mit f'(x)=f(x)}.
g) V_5={f|f V, f(x) ist rational für alle x in [0,oo)}.
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Rentnerin

Rentnerin

20:09 Uhr, 15.12.2007

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zu e)

Die Nullfunktion hat unendlich viele Nullstellen und gehört nicht zu V_5, also ist V_5 kein UVR.







zu f)

Mit f und g aus V_6 gilt für h = f + g:



h ist differenzierbar als Summe von differenzierbaren Funktionen,

h'(x) = f'(x) + g'(x) = f(x) + g(x) = h(x) für alle x aus dem Definitionsbereich.



Mit f aus V_6 und k aus R gilt für die Funktion h = k * f:



h ist als Produkt einer Konstanten mit einer diff.baren Funktion wieder differenzierbar,

h'(x) = k * f'(x) = k * f(x) = h(x) für alle x aus dem Definitionsbereich.



Damit ist V_6 ein UVR von V.







zu g)

Mit f(x) = 1 für alle x ist f in V_7, da f(x) rational ist; mit k = Wurzel(2) aus R ist aber h = k * f, also h(x) = Wurzel(2) für alle x nicht in V_7. V_7 ist kein UVR in V.



Gruß Rentnerin
marc-mathe

marc-mathe aktiv_icon

13:09 Uhr, 16.12.2007

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ok, danke dir



Marc
 
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