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unterräume bestimmen
Universität / Fachhochschule
Vektorräume
Tags: Vektorräume
 
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Hi Sei V={f|f ist eine Funktion von [0,oo) nach IR}. für f,g und r definieren wir eine Addition und Skalarmultiplikation: (f+g)(x) = f(x)+g(x) und (rf)(x)=r(f(x)). Dadurch wird V zu einem IR-Vektorraum. Welche folgenden Teilmengen von V seind Unterrräume von V ? a) V1={f|fV,f(0)=2} b) V2={f|fV,|f(x)|<=4 für alle [0,oo)} c) V3={f|fV, f beschränkt} d) V4={f|fV, f bijektiv} |
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Hallo marc-mathe, die Nullfunktion (f(0) = 0 für alle x aus [0,oo)) muss in einem UVR enthalten sein! zu a) die Nullfunktion ist nicht enthalten ==> V_1 ist kein UVR zu b) f(x) = 4 für alle x ist in V_2, aber 2*f(x) = 8 ist nicht in V_2 ==> V_2 ist kein UVR zu c) mit f und g aus V_3, dann gibt es s_1>0 mit |f(x)| 0 mit |g(x)| V_3 ist UVR zu d) die Nullfunktion ist nicht bijektiv ==> V_4 ist kein UVR Gruß Rentnerin |
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könntest du c.) etwas näher erläutern ? Danke Marc |
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Sorry, ich habe gar nicht bemerkt, dass die Antwortsoftware einen Großteil von c) verschluckt hat. Das was übrig geblieben ist, macht ja überhaupt keinen Sinn. Also nochmal! zu c) Sind f und g zwei beschränkte Funktionen aus V_3; dann gibt es Schranken s_1 für f und s_2 für g mit folgenden Eigenschaften: |f(x)| < s_1 für alle x aus dem Definitionsbereich |g(x)| < s_2 für alle x aus dem Definitionsbereich. Setze s = s_1 + s_2, dann gilt für alle x aus dem Definitionsbereich |f(x) + g(x)| <= |f(x)| + |g(x)| < s_1 + s_2 = s (Dreiecksungleichung!). Damit ist f + g ebenfalls beschränkt und somit in V_3. Ist f beschränkt und k aus R, dann gibt es eine Schranke s_1 für f, also |f(x)| < s_1 für alle x aus dem Definitionsbereich. Setze s = |k| * s_1, dann gilt für alle x aus dem Definitionsbereich |k * f(x)| = |k| * |f(x)| < |k| * s_1 = s. Damit ist k * f beschränkt, also k * f aus V_3. Damit ist V_3 UVR von V. Gruß Rentnerin |
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ok, jetzt machts sinn hab hier noch drei: e) V_5={f|f V, f(x)=0 nur für endlich viele x [0,oo)}. Ist doch sich ein UVR, da f(x)=0 für alle x in V_5, und m*f(x)=0 ist auch in V_5, oder ? f) V_6={f|f V, f ist differenzierbar mit f'(x)=f(x)}. g) V_5={f|f V, f(x) ist rational für alle x in [0,oo)}. |
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zu e) Die Nullfunktion hat unendlich viele Nullstellen und gehört nicht zu V_5, also ist V_5 kein UVR. zu f) Mit f und g aus V_6 gilt für h = f + g: h ist differenzierbar als Summe von differenzierbaren Funktionen, h'(x) = f'(x) + g'(x) = f(x) + g(x) = h(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. Mit f aus V_6 und k aus R gilt für die Funktion h = k * f: h ist als Produkt einer Konstanten mit einer diff.baren Funktion wieder differenzierbar, h'(x) = k * f'(x) = k * f(x) = h(x) für alle x aus dem Definitionsbereich. Damit ist V_6 ein UVR von V. zu g) Mit f(x) = 1 für alle x ist f in V_7, da f(x) rational ist; mit k = Wurzel(2) aus R ist aber h = k * f, also h(x) = Wurzel(2) für alle x nicht in V_7. V_7 ist kein UVR in V. Gruß Rentnerin |
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ok, danke dir Marc |
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