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vollständige Induktion

Schüler Gymnasium, 13. Klassenstufe

Tags: Induktion

8mileproof aktiv_icon

09:17 Uhr, 27.01.2012

hallo, hab folgende frage zu dieser aufgabe:

\sum_{k = n}^{2 n} k = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k

also die Induktionsannahme und IV sind ja klar...da brauch ich jetzt keine hilfe. allerdings weiß ich beim Induktionsschritt nicht, wie ich an einer stelle weitermachen kann:

IS) zu zeigen:

\sum_{k = n + 1}^{2 (n + 1)} k = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n + 1} k

also:

\sum_{k = n + 1}^{2 n + 2} k = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k + 2 \cdot n + 2 \cdot n + 1 = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k + 2 \cdot n + 2 \cdot n + 1

ab hier weiß ich nicht mehr weiter...kann mir da jmd. weiterhelfen?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

pwmeyer aktiv_icon

10:03 Uhr, 27.01.2012

Hallo,

Du hast den Übergang von

n

nach

n + 1

nicht richtig erfasst:

\sum_{k = n + 1}^{2 \cdot (n + 1)} k = \sum_{k = n}^{2 \cdot n} k - n + (2 \cdot n + 1) + (2 \cdot n + 2)

Jetzt kannst Du die Induktionsvoraussetzung nutzen.

Gruß pwm

8mileproof aktiv_icon

10:34 Uhr, 27.01.2012

und was ist mit dem faktor 3 geworden, die vor der 2. summenschreibweise stand? wieso darf man die einfach wegmachen?

Underfaker aktiv_icon

10:37 Uhr, 27.01.2012

Ich hätte das hier gedacht (oder so ähnlich):

\sum_{k = n + 1}^{2 (n + 1)} = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k - n + (2 n + 2) + (2 n + 1)

Und nun muss man den rechten Teil derart hibiegen, dass das gewünschte Ergebnis rauskommt.

(Aber um ehrlich zu sein, habe ich gerade nicht die Zeit mir das genauer anzusehen, kann also sein ich liege falsch oder habe falsch gedacht)

8mileproof aktiv_icon

10:54 Uhr, 27.01.2012

also meinen fehler mit den den beiden endtermen sehe ich ein. da hat mich wahrscheinlich die klammer vor der 2 verwirrt. also ich geb mal zusätzlich an wie ich darauf gekommen bin:

für

n = 2 : \sum_{k = n + 1}^{2 n + 2} k = \sum_{k = 3}^{6} k = 3 + 4 + 5 + 6

für

n = 2 :

3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{2} k = 3 \cdot (1 + 2) = 3 + 6

das bedeutet doch, dass der 1.term und der letzte term gleich sind. da fehlen nur die "terme" 4 und 5. das ganze nicht mehr in konkreten zahlen geschrieben bedeutet doch, dass ich den "2. term" 4 und den "3.term" 5 hinzuaddieren muss, wenn ich die summe

\sum_{k = n + 1}^{2 n + 2} k

aufspalten will:

also hab ich doch genau das, was ich oben angegeben hab, oder etwa nicht?

Underfaker aktiv_icon

12:22 Uhr, 27.01.2012

2⋅n+2⋅n+1, das addierst du doch dazu.

für

n = 1

komme ich auf der linken Seite auf

2 + 3 = 5

und auf der rechten Seite3+2+3

= 8

.

Das passt also nicht.

für

n = 3

übrigens auch nicht.

Also ich würde dir empfehlen, dass nur wenn du garnicht weiter weißt mal ein bisschen einzusetzen, aber das heißt dass du dadurch direkt auf etwas schließen kannst!.

Auf der linken Seite beginnen wir nach dem Induktionsschritt bei

k = n + 1,

also wird der n-te rausgelassen, den müssen wir auch auf der rechten Seite raus lassen, das heißt "

- n

" dann geht das ganze nicht mehr bis

2 n,

sondern bis

2 n + 2,

das heißt zusätzlich gibt es den 2n+1-ten und den 2n+2ten, diese beiden müssen wir auf der rechten Seite wiederum addieren, das ergibt für die rechte Seite:

(3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k) - n + 2 n + 1 + 2 n + 2 = (3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k) + n + 1 + 2 n + 2 = (3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k) + 3 n + 3,

wenn wir nun also den Summanden in die Summe reinziehen wollen und jeder Summand ja mit 3 multipliziert wird, müssen wir den vorher durch 3 teilen und das ergibt das gewünschte Ergebnis,

(n + 1)

.

ps: hab das mit Absicht mal so in Klammern gesetzt (vielleicht nicht ganz korrekt) damit man sieht was dazugerechnet wurde und was schon von der Induktionsannahme da war.

pps: pwmeyer, hat dir oben übrigens nicht die rechte Seite zeigen wollen, sondern die linke Seite so uumgeformt, dass dort die Induktionsannahme

+

noch irgendwas steht und dieses "noch irgendwas" macht eben den unterschied, den wir auch auf der rechten Seite berücksichtigen müssen.

8mileproof aktiv_icon

17:11 Uhr, 27.01.2012

okay, underfaker. ich habs verstanden wo mein fehler war....

ganz zum schluss habe ich noch folgendes geschrieben:

... = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n} k + 3 \cdot n + 3 = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{2} k + 3 \cdot (n + 1)

und das ist doch :

... = 3 \cdot \sum_{k = 1}^{n + 1} k

also das was wir zeigen wollten.

Underfaker aktiv_icon

17:17 Uhr, 27.01.2012

Jop,

das ist zumindestens meine Vorstellung von dieser Aufgabe :-)

8mileproof aktiv_icon

17:32 Uhr, 27.01.2012

jo, danke. ich habe hier noch eins versucht zu erledigen:

und zwar folgende:

\sum_{k = 1}^{2 n} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k}

auf die IA und IV habe ich schon mal verzichtet, die sind sowieso klar.

also zu zeigen ist doch

: \sum_{k = 1}^{2 n + 2} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k}

so da hab ich :

\sum_{k = 1}^{2 n + 2} \frac{{(- 1)}^{k + 1}}{k} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{2 n + 2}}{2 n + 1} + \frac{{(- 1)}^{2 n + 3}}{2 n + 2} = \sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

ich hätte jetzt hier gesagt, dass

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = \sum_{k = n + 2}^{2 n + 2} \frac{1}{k}

ist und ich somit fertig bin.

denn da wird doch jetzt das n-te element subtrahiert. also muss der laufindex oben und unten erhöht werden. richtig?

vulpi aktiv_icon

18:09 Uhr, 27.01.2012

Hallo !
Ich würde bei der letzten Gleichung aber noch den Zwischenschritt ausführen:

\sum_{k = n + 1}^{2 n} \frac{1}{k} = \sum_{k = n + 2}^{2 n} \frac{1}{k} + \frac{1}{n + 1}

|erster Summand abgespalten

\frac{1}{n + 1} - \frac{1}{2 n + 2} = + \frac{1}{2 n + 2}

Dann wird die Gleichheit der beiden Ausdrücke besser verständlich.
Das "warum" ist bei deiner letzten Gleichung für viele sonst bestimmt nicht klar.

lg

8mileproof aktiv_icon

02:26 Uhr, 28.01.2012

ich versuch das zwar nachzuvollziehen...fällt mir allerdings schwer...;(

edit: okay, jetzt kann ich das nachvollziehen. du hast recht. ich muss ja irgendwie zeigen, wie ich den startindex

k = n + 1

auf

k = n + 2

setze und dazu muss die abspaltung her. beim abspalten geschieht ja folgendes:
mein

k = n + 1

wird zu einem

k = n + 2,

dh. dass ich auf die rechte seite das n+1-element dazu addieren muss, damit die gleichung erfüllt ist. und somit ist das ganze fertig...der rest geht dann wie von alleine....

danke für die hilfe;-)

8mileproof aktiv_icon

12:02 Uhr, 28.01.2012

ich hab nach dieser aufgabe 3 weitere induktionsaufgaben gelöst, um mich mit der summenschreibweise vertraucht zu machen. die ersten 2 waren in ordnung. allerdings stieß ich bei der 3. wieder auf ein hindernis:

und zwar ging es um folgende gleichung:

\sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k + 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}

so die IA und die IV habe ich wieder überspringen, weil da mir schon alles klar ist.
probleme tauchten wieder mal beim IS auf:

also zu zeigen ist doch:

\sum_{k = 1}^{2 n + 2} {(- 1)}^{k + 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + 1 + k}

also:

\sum_{k = 1}^{2 n + 2} {(- 1)}^{k + 1} \frac{1}{k} = \sum_{k = 1}^{2 n} {(- 1)}^{k + 1} \frac{1}{k} + \frac{{(- 1)}^{2 n + 2}}{2 n + 1} - \frac{{(- 1)}^{2 n + 3}}{2 n + 2} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

ab hier hatte ich dann keine weiteren ideen mehr wie ich das ganze irgendwie so umformen kann , um auf

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{n + 1 + k}

zu kommen.

wie könnte man denn drauf kommen?

vulpi aktiv_icon

18:42 Uhr, 28.01.2012

Hallo nochmal !
Tippfehler, den Summanden

2 n + 2

subtrahierst du da fälschlich, bist danach aber trotzdem wieder richtig.

\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{n + k}

kannst du per Indexverschiebung in

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{(n + 1) + k}

äquivalent umformen, so ist das

+ 1

schon mal in die Nenner gezaubert.

Es sind jetzt wieder

n

Summanden, der 1. Summand lautet wieder

\frac{1}{n + 1}

,der

n

. Summand lautet wieder

\frac{1}{2 n}

Nur hat jetzt der 1. Summand jetz den Index, sozusagen den "Namen"

0,

und der

n

. Summand
den Index

n - 1,

was für die Summe keine Rolle spielt.

Das Ziel ist aber

\sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(n + 1) + k}

Da ist

k = 0

zu wenig, und

k = n, k = n + 1

zu viel, ergo:

\sum_{k = 0}^{n - 1} \frac{1}{(n + 1) + k} = \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(n + 1) + k} + \frac{1}{(n + 1) + 0} - \frac{1}{(n + 1) + n} - \frac{1}{(n + 1) + n + 1}

Der gesuchte Term lautet insgesamt also:

= \sum_{k = 1}^{n + 1} \frac{1}{(n + 1) + k} + \frac{1}{(n + 1)} - \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 (n + 1)} + \frac{1}{2 n + 1} - \frac{1}{2 n + 2}

Das Fertigrechnen überlass ich dir

... ...

.

Ach ja, bei 'ner neuen Aufgabe, bitte auch 'nen neuen Faden eröffnen, sonst wird das hier irgendwann eine Bandwurmgeschichte, danke !

lg

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