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Hallo, ich stecke bei folgender Aufgabe schon eine Weile fest: Ich soll zuerst die gegebene Gleichung nach umstellen und dann alle möglichen x-Werte mithilfe des Einheitskreises bestimmen. Ich habe folgende Schritte selber gemacht: Ich habe mit diesen Additionstheoremen die Gleichung erstmal umgeformt: Dann steht da: Satz vom Nullpunkt: oder oder oder Und ab hier komm ich nicht weiter. Ich habe auch schon andere Umformungen gemacht, aber das war bis jetzt die einzigste , wo ich so weit gekommen bin. Ich brauche bitte eure Unterstützung :-) lg Tamburin Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
Hierzu passend bei OnlineMathe: Sinus (Mathematischer Grundbegriff) Kosinus (Mathematischer Grundbegriff) Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff) Tangens (Mathematischer Grundbegriff) Rechenregeln Trigonometrie Wichtige trigonometrische Werte Additionstheoreme Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff) Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de: |
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Hallo, ich habe mir nicht die Mühe gemacht, zu überprüfen ob es einen einfacheren Weg gibt, also mache ich mit Deinem Zwischenergebnis weiter: 1 Weg: Trigonometrischer Pythagoras: . ist Setzt man dies ein, stellt nach der Wurzel um und quadriert, erhält man: Da kann man substituieren, die quadratische Gleichung lösen, eventuelle Lösungen mit Betrag größer als 1 und Scheinlösungen durch das Quadrieren eliminieren. 2. Weg: gleich quadrieren: Wenn Du jetzt das oben benutzte Additionstheorem noch einmal benutzt, findest Du die Lösungen schnell. Scheinlösungen sind auch hier zu eliminieren! |
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Oder man verwendet eine geeignete Identität . |
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Alternative: . . ->Rücksubstitution Insgesamt bei den Lösungen beachten, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung darstellt. mfG Atlantik |
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und Achtung - Fehler! Richtig war noch: Wenn du jetzt durch teilst, dann: |
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Das habe ich natürlich nicht überprüft. Dann sieht besagte Identität so aus: |
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Sry, ich bin noch in der 9. Klasse und beschäftige mich nur hobbymäßig mit der Oberstufenmathematik. Und an dem Thema Identität war ich noch nicht angekommen :-) Was meinst du mit Identität, im Internet konnte ich nichts brauchbares finden, vllt hast du ne gute PDF für mich ( Link) ? |
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Also nachdem Cositan mich korrigiert hat (danke) steht da jetzt also: Additionstheorem: Das sind die Ergebnisse auf die ICH gekommen bin, mithilfe des herkömmlichen ( und für mich am einfachsten ) Weg. Rücksubstitution: arcsin ? Ich weiß nicht wie ich hier den zweiten Wert finde! arcsin ? Ich weiß auch hier nicht wie ich den zweiten Wert finde! Ich hoffe ich habe bis jetzt keine Fehler gemacht. |
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> Ich hoffe ich habe bis jetzt keine Fehler gemacht. Nein, hast du nicht. Alles prima runtergerechnet! Die "zweite" Lösung beim arcsin() erhältst du immer mit der Ergänzung auf (oder 180°). Außerdem kannst du zu jeder der 4 Lösungen noch beliebige ganzzahlige Vielfache von (oder 360°) addieren. Wie das Bummerang in seiner Antwort bereits angedeutet hat, musst du jetzt noch etwaige Scheinlösungen aussortieren. Du hast im Zuge deiner Lösung einmal quadriert, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Das bedeutet, dass der Wahrheitswert einer Gleichung beim Quadrieren nicht unbedingt erhalten bleibt. Konkret kann es passieren, dass beim Quadrieren aus einer falschen Aussage (2=-2) eine richtige Aussage (4=4) wird. Es kann also passiert sein, dass nicht alle 4 von dir berechneten Werte tatsächlich Lösung der Ausgangsgleichung sind und daher ist eine Probe immer Pflicht, wenn man beim Lösen einer Gleichung irgendwo quadriert hat. In deinem Fall werden von den vier Lösungen nur zwei übrig bleiben. Insgesamt daher: jeweils mit Bei goniometrische Gleichungen (so nennt man Gleichungen dieser Art) kann es leicht passieren, dass die Lösungen von zwei Personen völlig unterschiedlich aussehen und doch beide richtig sind. So kann es etwa durchaus sein, dass man, wenn man einen anderen Lösungsweg einschlägt, etwa für den Ausdruck rausbekommt. Ein anderer wiederum erhält (der Lösungsweg dazu wurde weiter oben schon von einem Antwortgeber skizziert) Da ist auf den ersten Blick nicht immer erkennbar, dass das alles gleichwertig ist. Es ist schön zu sehen, dass die die Beschäftigung mit der Mathematik Freude macht! Scheue dich nicht, auch bei anderen auftretenden Problemen hier nachzufragen. Viel Spaß noch mit der Mathematik! Gruß R |
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Vielen Dank für die ausführliche und sehr nette Antwort :-) , da macht es nochmal mehr spaß mal hier reinzuschauen und nachzufragen ;-) ! Also...ich habe sehr gut verstanden was du mir geantwortet hast, allerdings habe ich nicht ganz verstanden warum 2 der insgesamt 5 Lösungen verworfen wurden. Ich habe zwar inhaltlich schon verstanden was du meintest, aber ich weiß nicht wie ich das jetzt und generell "praktisch" anwenden soll. Wie hast du die Probe gemacht? Ich muss das laut Aufgabenstellung ohne Taschenrechner machen, also nur mit dem Einheitskreis. Und zweitens, wenn ich ( jetzt nur mal allgemein) heraus habe dann lauten die Ergebnisse immer arcsin(y) und arcsin(y)? Und wie würde das dann aussehen wenn ich habe? |
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Es gilt |
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Danke :-) |
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Danke :-) |