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x-Werte mit des Einheitskreises bestimmen?

Schüler Gesamtschule, 9. Klassenstufe

Tags: Additionstheorem, Cosinus, Gleichungen, Sinus, Trigonometrie

 
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Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

00:03 Uhr, 01.04.2015

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Hallo,

ich stecke bei folgender Aufgabe schon eine Weile fest:

Ich soll zuerst die gegebene Gleichung nach x umstellen und dann alle möglichen x-Werte mithilfe des Einheitskreises bestimmen.

f(x)=cos(2x)+sin(x)-sin(2x)=1

Ich habe folgende Schritte selber gemacht:

Ich habe mit diesen Additionstheoremen die Gleichung erstmal umgeformt:

cos(2x)=1-2sin2(x)
sin(2x)=2cos(x)sin(x)

Dann steht da:
1-2sin2(x)+sin(x)-2cos(x)sin(x)=1|-1
-2sin2(x)+sin(x)-2cos(x)sin(x)=0
sin(x)(-2sin(x)+1-2cos(x))=0


Satz vom Nullpunkt:

sin(x)=0 oder -2sin(x)+1-2cos(x)=0|-1
x1=kΠ oder -2sin(x)-2cos(x)=-1|:(-2)
x1=kΠ oder sin(x)-cos(x)=12

Und ab hier komm ich nicht weiter.

Ich habe auch schon andere Umformungen gemacht, aber das war bis jetzt die einzigste , wo ich so weit gekommen bin.
Ich brauche bitte eure Unterstützung :-)

lg Tamburin

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Hierzu passend bei OnlineMathe:
Sinus (Mathematischer Grundbegriff)
Kosinus (Mathematischer Grundbegriff)
Trigonometrie (Mathematischer Grundbegriff)
Tangens (Mathematischer Grundbegriff)
Rechenregeln Trigonometrie
Wichtige trigonometrische Werte
Additionstheoreme
Sinusfunktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
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Antwort
Bummerang

Bummerang

01:15 Uhr, 01.04.2015

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Hallo,

ich habe mir nicht die Mühe gemacht, zu überprüfen ob es einen einfacheren Weg gibt, also mache ich mit Deinem Zwischenergebnis weiter:

1 Weg: Trigonometrischer Pythagoras: z.B. ist sin(x)=±1-cos2(x)

Setzt man dies ein, stellt nach der Wurzel um und quadriert, erhält man:

1-cos2(x)=14+212cos(x)+cos2(x)

Da kann man cos(x) substituieren, die quadratische Gleichung lösen, eventuelle Lösungen mit Betrag größer als 1 und Scheinlösungen durch das Quadrieren eliminieren.

2. Weg: gleich quadrieren:

sin2(x)-2sin(x)cos(x)+cos2(x)=14

1-2sin(x)cos(x)=14

34=2sin(x)cos(x)

Wenn Du jetzt das oben benutzte Additionstheorem noch einmal benutzt, findest Du die Lösungen schnell. Scheinlösungen sind auch hier zu eliminieren!
Antwort
Respon

Respon

06:33 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Oder man verwendet eine geeignete Identität
sin(x)-cos(x)=12
sin(x)-cos(x)=-2sin(π4-x)
-2sin(π4-x)=12
sin(π4-x)=-24
π4-x=sin-1(-24)+2kπ
x=...
Antwort
Atlantik

Atlantik aktiv_icon

10:26 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Alternative:

34=2sin(x)cos(x)

sin(x)1-sin2(x)=38|2

sin2(x)(1-sin2(x))=964

sin2(x)-sin4(x)=964

sin4(x)-sin2(x)=-964

sin2(x)=u

u2-u=-964|+q.E.(-12)2=14

u2-u+14=-964+14

(u-12)2=2364|


u1=...

u2=...

->Rücksubstitution

Insgesamt bei den Lösungen beachten, dass Quadrieren keine Äquivalenzumformung darstellt.

mfG

Atlantik

Zeichnung:

Unbenannt
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anonymous

anonymous

12:59 Uhr, 01.04.2015

Antworten
und Achtung - Fehler!
Richtig war noch:
-2sin(x)-2cos(x)=-1
Wenn du jetzt durch (-2) teilst, dann:
sin(x)+cos(x)=12

Antwort
Respon

Respon

13:05 Uhr, 01.04.2015

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Das habe ich natürlich nicht überprüft.
Dann sieht besagte Identität so aus:
sin(x)+cos(x)=2sin(x+π2)
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

14:46 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Sry, ich bin noch in der 9. Klasse und beschäftige mich nur hobbymäßig mit der Oberstufenmathematik. Und an dem Thema Identität war ich noch nicht angekommen :-)

Was meinst du mit Identität, im Internet konnte ich nichts brauchbares finden, vllt hast du ne gute PDF für mich ( Link) ?



Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

15:15 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Also nachdem Cositan mich korrigiert hat (danke) steht da jetzt also:

sin(x)+cos(x)=12

Additionstheorem: cos(x)=1-sin2(x)

sin(x)+1-sin2(x)=12

1-sin2(x)=12-sin(x)|()2

sin2(x)-12sin(x)-38=0
z2-12z-38=0

z1=1+74;z2=1-74

Das sind die Ergebnisse auf die ICH gekommen bin, mithilfe des herkömmlichen ( und für mich am einfachsten ) Weg.

Rücksubstitution: x1= arcsin (1+74)
---------x2=? Ich weiß nicht wie ich hier den zweiten Wert finde!
---------x3= arcsin (1-74)
---------x4=? Ich weiß auch hier nicht wie ich den zweiten Wert finde!

Ich hoffe ich habe bis jetzt keine Fehler gemacht.

Antwort
Roman-22

Roman-22

16:42 Uhr, 01.04.2015

Antworten
> Ich hoffe ich habe bis jetzt keine Fehler gemacht.

Nein, hast du nicht. Alles prima runtergerechnet!

Die "zweite" Lösung beim arcsin() erhältst du immer mit der Ergänzung auf π (oder 180°).
Außerdem kannst du zu jeder der 4 Lösungen noch beliebige ganzzahlige Vielfache von 2π (oder 360°) addieren.

Wie das Bummerang in seiner Antwort bereits angedeutet hat, musst du jetzt noch etwaige Scheinlösungen aussortieren. Du hast im Zuge deiner Lösung einmal quadriert, Quadrieren ist keine Äquivalenzumformung. Das bedeutet, dass der Wahrheitswert einer Gleichung beim Quadrieren nicht unbedingt erhalten bleibt. Konkret kann es passieren, dass beim Quadrieren aus einer falschen Aussage (2=-2) eine richtige Aussage (4=4) wird. Es kann also passiert sein, dass nicht alle 4 von dir berechneten Werte tatsächlich Lösung der Ausgangsgleichung sind und daher ist eine Probe immer Pflicht, wenn man beim Lösen einer Gleichung irgendwo quadriert hat. In deinem Fall werden von den vier Lösungen nur zwei übrig bleiben.
Insgesamt daher:
x1=kπ
x2=arcsin(1-74)+k2π
x3=π-arcsin(1+74)+k2π
jeweils mit k

Bei goniometrische Gleichungen (so nennt man Gleichungen dieser Art) kann es leicht passieren, dass die Lösungen von zwei Personen völlig unterschiedlich aussehen und doch beide richtig sind. So kann es etwa durchaus sein, dass man, wenn man einen anderen Lösungsweg einschlägt, etwa für x3 den Ausdruck
x3=2(arctan(2+73)+kπ)
rausbekommt.
Ein anderer wiederum erhält (der Lösungsweg dazu wurde weiter oben schon von einem Antwortgeber skizziert)
x3=π4+arccos(24)+k2π
Da ist auf den ersten Blick nicht immer erkennbar, dass das alles gleichwertig ist.

Es ist schön zu sehen, dass die die Beschäftigung mit der Mathematik Freude macht!
Scheue dich nicht, auch bei anderen auftretenden Problemen hier nachzufragen.
Viel Spaß noch mit der Mathematik!

Gruß R

Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

18:57 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Vielen Dank für die ausführliche und sehr nette Antwort :-) , da macht es nochmal mehr spaß mal hier reinzuschauen und nachzufragen ;-) !

Also...ich habe sehr gut verstanden was du mir geantwortet hast, allerdings habe ich nicht ganz verstanden warum 2 der insgesamt 5 Lösungen verworfen wurden. Ich habe zwar inhaltlich schon verstanden was du meintest, aber ich weiß nicht wie ich das jetzt und generell "praktisch" anwenden soll.

Wie hast du die Probe gemacht? Ich muss das laut Aufgabenstellung ohne Taschenrechner machen, also nur mit dem Einheitskreis.

Und zweitens, wenn ich ( jetzt nur mal allgemein) heraus habe :sin(x)=y, dann lauten die Ergebnisse immer :x1= arcsin(y) und x2=Π- arcsin(y)? Und wie würde das dann aussehen wenn ich cos(x)=y habe?


Antwort
Respon

Respon

20:09 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Es gilt cos(α)=cos(-α)
Frage beantwortet
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

20:13 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Danke :-)
Frage beantwortet
Tamburin442

Tamburin442 aktiv_icon

20:14 Uhr, 01.04.2015

Antworten
Danke :-)