Polynomdivision

Ein Polynom ist eine Summe von mehreren Potenzfunktionen, die als Exponenten natürliche Zahlen ${\displaystyle (\mathrm{0,1}\mathrm{,2}\mathrm{,3},...)}$ haben.

Beispiel:

${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6}$

Die Funktion kann auch geschrieben werden als:



Ist der Funktionsterm ein Produkt aus Linearfaktoren, lassen sich die Nullstellen [mehr dazu] leicht ablesen.
${\displaystyle (z.B}$. wird die erste Klammer Null, wenn man 1 einsetzt; und somit das gesamte Produkt.)

In diesem Fall sind an den x-Werten ${\displaystyle +1,-2}$ und ${\displaystyle +3}$ Nullstellen [mehr dazu].





Wie faktorisiert man den Funktionsterm?

Mit der sog. Polynomdivision:


1) Die erste Nullstelle raten (1,-1,2,-2,3,…)

${\displaystyle 1^3-2\cdot 1^2-5\cdot 1+6=0 \Rightarrow }$ Der Funktionsterm enthält den Term ${\displaystyle (x-1)}$.


2) Polynomdivision



Zwischenergebnis:

${\displaystyle x^3-2x^2-5x+6=(x-1)\cdot (x^2-x-6)}$


3) Die Gleichung ${\displaystyle x^2-x-6=0 }$ lässt sich mit Hilfe der Mitternachtsformel [mehr dazu] faktorisieren.

${\displaystyle x_{\mathrm{1,2}}=\frac{1\pm \sqrt{1+24}}{2}=\frac{1\pm 5}{2}}$

${\displaystyle \Rightarrow x_1=3 }$ und ${\displaystyle x_2=-2}$

Somit: ${\displaystyle x^2-x-6=(x+2)\cdot (x-3)}$

Endergebnis: ${\displaystyle f\left(x\right)=x^3-2x^2-5x+6=(x-1)\cdot (x+2)\cdot (x-3)}$


Methode

Nachzulesen in folgenden Beispielsaufgaben:
Nullstellen [mehr dazu] von Polynomfunktionen
Polynomdivision